Fórmula de suma de Poisson

Ecuación en el análisis de Fourier

En matemáticas , la fórmula de suma de Poisson es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada continua de Fourier de la función . En consecuencia, la suma periódica de una función está completamente definida por muestras discretas de la transformada de Fourier de la función original. Y a la inversa, la suma periódica de la transformada de Fourier de una función está completamente definida por muestras discretas de la función original. La fórmula de suma de Poisson fue descubierta por Siméon Denis Poisson y a veces se la llama resumen de Poisson .

Formas de la ecuación

Considere una función aperiódica con transformada de Fourier designada alternativamente por y ${\displaystyle s(x)}$ ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ ${\displaystyle {\hat {s}}(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(f).}$

La fórmula básica de suma de Poisson es:

Considere también funciones periódicas, donde los parámetros y están en las mismas unidades que : ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).}$$

Entonces la Ec.1 es un caso especial (P=1, x=0) de esta generalización: ^{[1] [2]}

que es una expansión en serie de Fourier con coeficientes que son muestras de la función . De manera similar: ${\displaystyle S(f).}$

También conocida como la importante transformada de Fourier de tiempo discreto .

Derivaciones

Se puede encontrar una prueba en Pinsky ^[1] o en Zygmund. ^[2] La ecuación 2 , por ejemplo, se cumple en el sentido de que si , entonces el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) del lado izquierdo. Se deduce del teorema de convergencia dominada que existe y es finito para casi todos . Además se deduce que es integrable en cualquier intervalo de longitud. Por lo tanto, basta con demostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de son . A partir de la definición de los coeficientes de Fourier tenemos: ${\displaystyle s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x\pm nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

donde el intercambio de sumación con integración se justifica una vez más por la convergencia dominada. Con un cambio de variables ( ) esto se convierte en: ${\displaystyle \tau =x+nP}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}$$

Formulación distributiva

Estas ecuaciones se pueden interpretar en el lenguaje de las distribuciones ^{[3] [4] : ​​§7.2} para una función cuyas derivadas son todas rápidamente decrecientes (ver Función de Schwartz ). La fórmula de suma de Poisson surge como un caso particular del Teorema de Convolución sobre distribuciones templadas , utilizando la distribución en peine de Dirac y su serie de Fourier : ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x\pm nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{\pm i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f\pm k/T).}$$

En otras palabras, la periodización de un delta de Dirac que da como resultado un peine de Dirac , corresponde a la discretización de su espectro que es constantemente uno. Por lo tanto, esto es nuevamente un peine de Dirac pero con incrementos recíprocos. ${\displaystyle \delta ,}$

Para el caso, la Ec.1 se sigue fácilmente: ${\displaystyle T=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

Similarmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

O: ^{[5] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

La fórmula de suma de Poisson también se puede demostrar de manera bastante conceptual utilizando la compatibilidad de la dualidad de Pontryagin con secuencias cortas exactas como ^[6]

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$$

Aplicabilidad

La ecuación 2 se cumple siempre que sea una función integrable continua que satisface ${\displaystyle s(x)}$

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$$

^{[7] [8]}uniformemente continuaLa ecuación 2^[8] ${\displaystyle C>0,\delta >0}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$

La ecuación 2 se cumple puntualmente bajo el supuesto estrictamente más débil de que tiene variación acotada y ^[2] ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

la ecuación 2

Como se muestra arriba, la ecuación 2 se cumple bajo el supuesto mucho menos restrictivo de , pero luego es necesario interpretarla en el sentido de que el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) de ^[2]. En este caso , se puede ampliar la región donde se mantiene la igualdad considerando métodos de sumabilidad como la sumabilidad de Cesàro . Al interpretar la convergencia de esta manera, la ecuación 2 , el caso se cumple bajo las condiciones menos restrictivas de que es integrable y 0 es un punto de continuidad de . Sin embargo, la ecuación 2 puede no cumplirse incluso cuando ambos y son integrables y continuos, y las sumas convergen absolutamente. ^[9] ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Aplicaciones

Método de imágenes

En las ecuaciones diferenciales parciales , la fórmula de suma de Poisson proporciona una justificación rigurosa para la solución fundamental de la ecuación del calor con frontera rectangular absorbente mediante el método de imágenes . Aquí se conoce el núcleo de calor y el de un rectángulo se determina tomando la periodización. De manera similar, la fórmula de suma de Poisson proporciona una conexión entre el análisis de Fourier en espacios euclidianos y en los toros de las dimensiones correspondientes. ^[7] En una dimensión, la solución resultante se llama función theta . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En electrodinámica , el método también se utiliza para acelerar el cálculo de las funciones periódicas de Green . ^[10]

Muestreo

En el estudio estadístico de series de tiempo, si es una función del tiempo, entonces observar sólo sus valores en puntos de tiempo equidistantes se denomina "muestreo". En aplicaciones, normalmente la función es de banda limitada , lo que significa que hay una frecuencia de corte tal que es cero para las frecuencias que exceden el corte: para funciones de banda limitada, elegir la frecuencia de muestreo garantiza que no se pierda información: ya que se puede reconstruir de estos valores muestreados. Luego, por inversión de Fourier, también puede hacerlo. Esto lleva al teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . ^[1] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle S(f)=0}$ ${\displaystyle |f|>f_{o}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}>2f_{o}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s.}$

resumen de ewald

Computacionalmente, la fórmula de suma de Poisson es útil ya que se garantiza que una suma que converge lentamente en el espacio real se convertirá en una suma equivalente que converge rápidamente en el espacio de Fourier. ^[11] (Una función amplia en el espacio real se convierte en una función estrecha en el espacio de Fourier y viceversa). Esta es la idea esencial detrás de la suma de Ewald .

Aproximaciones de integrales

La fórmula de suma de Poisson también es útil para limitar los errores obtenidos cuando una integral se aproxima mediante una suma (Riemann). Considere una aproximación de as , donde está el tamaño del contenedor. Entonces, según la Ec.2 esta aproximación coincide con . El error en la aproximación puede entonces acotarse como . Esto es particularmente útil cuando la transformada de Fourier de decae rápidamente . ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$ ${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$ ${\displaystyle \delta \ll 1}$ ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ ${\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle 1/\delta \gg 1}$

Puntos de red dentro de una esfera

La fórmula de suma de Poisson se puede utilizar para derivar la fórmula asintótica de Landau para el número de puntos de la red dentro de una gran esfera euclidiana. También se puede utilizar para mostrar que si es una función integrable y ambas tienen soporte compacto , entonces ^[1] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s=0.}$

Teoría de los números

En teoría de números , la suma de Poisson también se puede utilizar para derivar una variedad de ecuaciones funcionales, incluida la ecuación funcional de la función zeta de Riemann . ^[12]

Un uso importante de la suma de Poisson se refiere a las funciones theta : sumas periódicas de gaussianos. Coloque , para un número complejo en el semiplano superior y defina la función theta: ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}$$

La relación entre y resulta importante para la teoría de números, ya que este tipo de relación es una de las propiedades definitorias de una forma modular . Eligiendo y utilizando el hecho de que se puede concluir: ${\displaystyle \theta (-1/\tau )}$ ${\displaystyle \theta (\tau )}$ ${\displaystyle s(x)=e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2}},}$

$${\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),}$$

${\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.}$

De esto se deduce que tiene una propiedad de transformación simple y que se puede usar para probar la fórmula de Jacobi para el número de formas diferentes de expresar un número entero como la suma de ocho cuadrados perfectos. ${\displaystyle \theta ^{8}}$ ${\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}$

Empaquetaduras de esferas

Cohn y Elkies ^[13] demostraron un límite superior para la densidad de los empaquetamientos de esferas utilizando la fórmula de suma de Poisson, lo que posteriormente condujo a una prueba de empaquetamientos de esferas óptimos en las dimensiones 8 y 24.

Otro

• Dejar por y por conseguir ${\displaystyle s(x)=e^{-ax}}$ ${\displaystyle 0\leq x}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x<0}$
  $${\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.}$$
• Puede utilizarse para demostrar la ecuación funcional de la función theta.
• La fórmula de suma de Poisson aparece en los cuadernos de Ramanujan y puede usarse para probar algunas de sus fórmulas, en particular, puede usarse para probar una de las fórmulas de la primera carta de Ramanujan a Hardy. ^{[ se necesita aclaración ]}
• Se puede utilizar para calcular la suma cuadrática de Gauss.

Generalizaciones

La fórmula de suma de Poisson se cumple en un espacio euclidiano de dimensión arbitraria. Sea la red formada por puntos con coordenadas enteras. Para una función en , considere la serie dada al sumar las traslaciones de por elementos de : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

Teorema Porque en , la serie anterior converge puntualmente en casi todas partes y, por lo tanto, define una función periódica en yace en con Además, para todo en (transformada de Fourier en ) es igual (transformada de Fourier en ). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle \Lambda .}$  ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.}$
${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda ,}$  ${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\nu )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Cuando además es continuo, y ambos decaen lo suficientemente rápido en el infinito, entonces uno puede "invertir" el dominio nuevamente y hacer una declaración más fuerte. Más precisamente, si ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

para algún C , δ > 0, entonces ^{[8] : VII §2}

$${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi x\cdot \nu },}$$

dxla Ec.1

De manera más general, una versión de la afirmación es válida si Λ se reemplaza por una red más general en . La red dual Λ′ puede definirse como un subconjunto del espacio vectorial dual o, alternativamente, mediante la dualidad de Pontryagin . Entonces la afirmación es que la suma de funciones delta en cada punto de Λ, y en cada punto de Λ′, son nuevamente transformadas de Fourier como distribuciones, sujetas a una normalización correcta. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Esto se aplica en la teoría de funciones theta y es un método posible en geometría de números . De hecho, en trabajos más recientes sobre el recuento de puntos de red en regiones, se utiliza de forma rutinaria: sumar la función indicadora de una región D sobre puntos de red es exactamente la cuestión, de modo que lo que se busca es el LHS de la fórmula de suma y el RHS algo que puede ser atacado mediante análisis matemático .

Fórmula de traza de Selberg

En teoría de números se requiere una mayor generalización a grupos abelianos localmente compactos . En el análisis armónico no conmutativo , la idea se lleva aún más lejos en la fórmula de la traza de Selberg, pero adquiere un carácter mucho más profundo.

Una serie de matemáticos que aplican el análisis armónico a la teoría de números, en particular Martin Eichler, Atle Selberg , Robert Langlands y James Arthur, han generalizado la fórmula de suma de Poisson a la transformada de Fourier en grupos algebraicos reductivos localmente compactos no conmutativos con un subgrupo discreto como que tiene volumen finito. Por ejemplo, pueden ser los puntos reales de y pueden ser los puntos integrales de . En este escenario, desempeña el papel de la recta numérica real en la versión clásica de la suma de Poisson, y desempeña el papel de los números enteros que aparecen en la suma. La versión generalizada de la suma de Poisson se llama Fórmula de traza de Selberg y ha desempeñado un papel en la demostración de muchos casos de la conjetura de Artin y en la demostración de Wiles del último teorema de Fermat. El lado izquierdo de la ecuación 1 se convierte en una suma de representaciones unitarias irreducibles de y se llama "el lado espectral", mientras que el lado derecho se convierte en una suma de clases de conjugación de y se llama "el lado geométrico". ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

La fórmula de suma de Poisson es el arquetipo de grandes avances en el análisis armónico y la teoría de números.

Teorema de convolución

La fórmula de suma de Poisson es un caso particular del teorema de convolución sobre distribuciones templadas . Si uno de los dos factores es el peine de Dirac , se obtiene la suma periódica en un lado y el muestreo en el otro lado de la ecuación. Aplicado a la función delta de Dirac y su transformada de Fourier , la función que es constantemente 1, produce la identidad del peine de Dirac .

Ver también

• Análisis de Fourier § Resumen
• Fórmula de inversión de post
• fórmula de voronói
• Transformada de Fourier en tiempo discreto
• Fórmulas explícitas para funciones L

Referencias

1. Pinsky, M. (2002), Introducción al análisis de Fourier y las wavelets. , Brooks Cole, ISBN 978-0-534-37660-4
2. Zygmund, Antoni (1968), Serie trigonométrica (2ª ed.), Cambridge University Press (publicado en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9
3. Córdoba, A., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376
4. Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, señor  0717035
5. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Dólar, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. Las muestras de la transformada de Fourier de una secuencia aperiódica x[n] pueden considerarse como coeficientes DFS de una secuencia periódica obtenidos sumando réplicas periódicas de x[n].
6. Deitmar, Antón; Echterhoff, Siegfried (2014), Principios del análisis armónico , Universitext (2 ed.), doi :10.1007/978-3-319-05792-7, ISBN 978-3-319-05791-0
7. Grafakos, Loukas (2004), Análisis de Fourier clásico y moderno , Pearson Education, Inc., págs. 253–257, ISBN 0-13-035399-X
8. Stein, Elías; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
9. Katznelson, Yitzhak (1976), Introducción al análisis armónico (Segunda edición corregida), Nueva York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
10. Kinayman, Noyan; Aksun, MI (1995). "Estudio comparativo de técnicas de aceleración para integrales y series en problemas electromagnéticos". Radiociencia . 30 (6): 1713-1722. Código Bib : 1995RaSc...30.1713K. doi :10.1029/95RS02060. hdl : 11693/48408 .
11. Woodward, Philipp M. (1953). Probabilidad y Teoría de la Información, con Aplicaciones al Radar . Prensa académica, pag. 36.
12. SM Edwards (1974). Función Zeta de Riemann . Prensa académica, págs. 209-11. ISBN 0-486-41740-9 . 
13. Cohn, Enrique; Elkies, Noam (2003), "Nuevos límites superiores en empaquetamientos de esferas I", Ann. de Matemáticas. , 2, 157 (2): 689–714, arXiv : math/0110009 , doi : 10.4007/annals.2003.157.689, SEÑOR  1973059

Otras lecturas

• Benedetto, JJ; Zimmermann, G. (1997), "Multiplicadores de muestreo y fórmula de suma de Poisson", J. Fourier Anal. Aplica. , 3 (5): 505–523, doi :10.1007/BF02648881, archivado desde el original el 24 de mayo de 2011 , consultado el 19 de junio de 2008
• Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Análisis y aplicaciones de Fourier , Springer, págs. 344–352, ISBN 0-387-98485-2
• Higgins, JR (1985), "Cinco cuentos sobre la serie cardinal", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 12 (1): 45–89, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15293-0