Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional. Rojo: evolución del tiempo . Azul: curso de tiempo de dos puntos seleccionados. Versión interactiva.
En un dominio más general Ω en R d , una fórmula tan explícita generalmente no es posible. Los siguientes casos más simples de un disco o cuadrado involucran, respectivamente, funciones de Bessel y funciones theta de Jacobi . Sin embargo, el núcleo de calor todavía existe y es suave para t > 0 en dominios arbitrarios y, de hecho, en cualquier variedad de Riemann con frontera , siempre que la frontera sea suficientemente regular. Más precisamente, en estos dominios más generales, el núcleo de calor es la solución del problema del valor límite inicial.
No es difícil derivar una expresión formal para el núcleo de calor en un dominio arbitrario. Considere el problema de Dirichlet en un dominio conexo (o variedad con límite ) U. Sean λ n los valores propios del problema de Dirichlet del laplaciano.
Sea ϕ n las funciones propias asociadas , normalizadas para ser ortonormales en L 2 ( U ) . El inverso Dirichlet Laplaciano Δ −1 es un operador compacto y autoadjunto , por lo que el teorema espectral implica que los valores propios de Δ satisfacen
. El núcleo de calor tiene la siguiente expresión:
Diferenciar formalmente la serie bajo el signo de la sumatoria muestra que esto debería satisfacer la ecuación del calor. Sin embargo, la convergencia y regularidad de las series son bastante delicadas.
Hay varios resultados geométricos sobre núcleos de calor en colectores; digamos, asintóticas de corto tiempo, asintóticas de largo tiempo y límites superior/inferior de tipo gaussiano.
Berlín, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operadores , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
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