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Álgebra de Banach

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un álgebra de Banach , llamada así por Stefan Banach , es un álgebra asociativa sobre los números reales o complejos (o sobre un cuerpo normado completo no arquimediano ) que al mismo tiempo es también un espacio de Banach , es decir, un espacio normado que es completo en la métrica inducida por la norma. La norma debe satisfacer

Esto garantiza que la operación de multiplicación sea continua con respecto a la topología métrica.

Un álgebra de Banach se llama unital si tiene un elemento identidad para la multiplicación cuya norma es y conmutativa si su multiplicación es conmutativa . Cualquier álgebra de Banach (ya sea unital o no) se puede incrustar isométricamente en un álgebra de Banach unital para formar un ideal cerrado de . A menudo se supone a priori que el álgebra en consideración es unital porque se puede desarrollar gran parte de la teoría considerando y luego aplicando el resultado en el álgebra original. Sin embargo, este no es el caso todo el tiempo. Por ejemplo, no se pueden definir todas las funciones trigonométricas en un álgebra de Banach sin identidad.

La teoría de las álgebras de Banach reales puede ser muy diferente de la teoría de las álgebras de Banach complejas. Por ejemplo, el espectro de un elemento de una álgebra de Banach compleja no trivial nunca puede estar vacío, mientras que en una álgebra de Banach real podría estar vacío para algunos elementos.

Las álgebras de Banach también se pueden definir sobre cuerpos de números -ádicos . Esto es parte del análisis -ádico .

Ejemplos

El ejemplo prototípico de un álgebra de Banach es , el espacio de funciones continuas (de valor complejo), definidas en un espacio de Hausdorff localmente compacto , que se anulan en el infinito . es unital si y solo si es compacto . La conjugación compleja , al ser una involución , es de hecho un C*-álgebra . De manera más general, cada C*-álgebra es un álgebra de Banach por definición.

Propiedades

Varias funciones elementales que se definen mediante series de potencias pueden definirse en cualquier álgebra de Banach unitaria; los ejemplos incluyen la función exponencial y las funciones trigonométricas y, de manera más general, cualquier función entera . (En particular, la función exponencial se puede utilizar para definir grupos de índices abstractos .) La fórmula para la serie geométrica sigue siendo válida en álgebras de Banach unitarias generales. El teorema del binomio también se cumple para dos elementos conmutativos de un álgebra de Banach.

El conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra de Banach unitaria es un conjunto abierto , y la operación de inversión en este conjunto es continua (y por lo tanto es un homeomorfismo), de modo que forma un grupo topológico bajo la multiplicación. [3]

Si un álgebra de Banach tiene unidad entonces no puede ser un conmutador ; es decir,   para cualquier Esto se debe a que y tienen el mismo espectro excepto posiblemente

Las diversas álgebras de funciones que se dan en los ejemplos anteriores tienen propiedades muy diferentes a las de los ejemplos estándar de álgebras, como los números reales. Por ejemplo:

Teoría espectral

Las álgebras de Banach unitarias sobre el cuerpo complejo proporcionan un marco general para desarrollar la teoría espectral. El espectro de un elemento denotado por , consta de todos aquellos escalares complejos tales que no es invertible en El espectro de cualquier elemento es un subconjunto cerrado del disco cerrado en con radio y centro y, por lo tanto, es compacto . Además, el espectro de un elemento no está vacío y satisface la fórmula del radio espectral :

Dado que el cálculo funcional holomorfo permite definir para cualquier función holomorfa en un entorno de Además, el teorema de mapeo espectral se cumple: [5]

Cuando el álgebra de Banach es el álgebra de operadores lineales acotados sobre un espacio de Banach complejo (por ejemplo, el álgebra de matrices cuadradas), la noción de espectro en coincide con la habitual en la teoría de operadores . Para (con un espacio de Hausdorff compacto ), se ve que:

La norma de un elemento normal de un álgebra C* coincide con su radio espectral. Esto generaliza un hecho análogo para los operadores normales.

Sea un álgebra de Banach unital compleja en la que todo elemento distinto de cero es invertible (un álgebra de división). Para cada existe tal que no es invertible (porque el espectro de no está vacío), por lo tanto, esta álgebra es naturalmente isomorfa a (el caso complejo del teorema de Gelfand-Mazur).

Ideales y personajes

Sea un álgebra de Banach conmutativa unitaria sobre Como es entonces un anillo conmutativo con unidad, cada elemento no invertible de pertenece a algún ideal maximal de Como un ideal maximal en es cerrado, es un álgebra de Banach que es un cuerpo, y se sigue del teorema de Gelfand-Mazur que hay una biyección entre el conjunto de todos los ideales maximales de y el conjunto de todos los homomorfismos distintos de cero de a El conjunto se llama " espacio de estructura " o "espacio de caracteres" de y sus miembros "caracteres".

Un carácter es un funcional lineal en que es al mismo tiempo multiplicativo y satisface Todo carácter es automáticamente continuo de a puesto que el núcleo de un carácter es un ideal maximal, que es cerrado. Además, la norma (es decir, la norma del operador) de un carácter es uno. Equipado con la topología de convergencia puntual en (es decir, la topología inducida por la topología débil-* de ), el espacio de caracteres es un espacio compacto de Hausdorff.

Para cualquier lugar, la representación de Gelfand de se define de la siguiente manera: es la función continua de a dada por El espectro de en la fórmula anterior, es el espectro como elemento del álgebra de funciones continuas complejas en el espacio compacto Explícitamente,

Como álgebra, un álgebra de Banach conmutativa unitaria es semisimple (es decir, su radical de Jacobson es cero) si y solo si su representación de Gelfand tiene núcleo trivial. Un ejemplo importante de este tipo de álgebra es un C*-álgebra conmutativa. De hecho, cuando es un C*-álgebra unitaria conmutativa, la representación de Gelfand es entonces un *-isomorfismo isométrico entre y [a]

*-álgebras de Banach

Un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de números complejos , junto con una función que tiene las siguientes propiedades:

  1. para todos (por lo que el mapa es una involución ).
  2. a pesar de
  3. para cada y cada aquí, denota el conjugado complejo de
  4. a pesar de

En otras palabras, un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach que también es un *-álgebra .

En la mayoría de los ejemplos naturales, también se tiene que la involución es isométrica , es decir, Algunos autores incluyen esta propiedad isométrica en la definición de un *-álgebra de Banach.

Un *-álgebra de Banach que satisface es un C*-álgebra .

Véase también

Notas

  1. ^ Demostración: Puesto que cada elemento de un C*-álgebra conmutativa es normal, la representación de Gelfand es isométrica; en particular, es inyectiva y su imagen es cerrada. Pero la imagen de la representación de Gelfand es densa según el teorema de Stone-Weierstrass .

Referencias

  1. ^ Conway 1990, Ejemplo VII.1.8.
  2. ^ ab Conway 1990, Ejemplo VII.1.9.
  3. ^ Conway 1990, Teorema VII.2.2.
  4. ^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez (1995). "Una nueva demostración simple del teorema de Gelfand-Mazur-Kaplansky". Actas de la American Mathematical Society . 123 (9): 2663–2666. doi :10.2307/2160559. ISSN  0002-9939. JSTOR  2160559.
  5. ^ Takesaki 1979, Proposición 2.8.