En la teoría de operadores , una rama de las matemáticas, cada álgebra de Banach se puede asociar con un grupo llamado su grupo de índice abstracto .
Sea A un álgebra de Banach y G el grupo de elementos invertibles en A . El conjunto G es abierto y un grupo topológico . Consideremos el componente identidad
o en otras palabras el componente conexo que contiene la identidad 1 de A ; G 0 es un subgrupo normal de G . El grupo cociente
es el grupo de índice abstracto de A . Debido a que G 0 , al ser el componente de un conjunto abierto, es tanto abierto como cerrado en G , el grupo de índice es un grupo discreto .
Sea L ( H ) el álgebra de Banach de operadores acotados en un espacio de Hilbert. El conjunto de elementos invertibles en L ( H ) está conexo por trayectorias. Por lo tanto, Λ L ( H ) es el grupo trivial.
Sea T el círculo unitario en el plano complejo. El álgebra C ( T ) de funciones continuas desde T hasta los números complejos es un álgebra de Banach, con la topología de convergencia uniforme. Una función en C ( T ) es invertible (lo que significa que tiene una inversa multiplicativa puntual , no que es una función invertible ) si no asigna ningún elemento de T a cero. El grupo G 0 consiste en elementos homotópicos , en G , a la identidad en G , la función constante 1. Se pueden elegir las funciones f n ( z ) = z n como representantes en G de distintas clases de homotopía de aplicaciones T → T . Por lo tanto, el grupo índice Λ C ( T ) es el conjunto de clases de homotopía, indexado por el número de vueltas de sus miembros. Por lo tanto, Λ C ( T ) es isomorfo al grupo fundamental de T . Es un grupo discreto contable.
El álgebra de Calkin K es el cociente C*-álgebra de L ( H ) con respecto a los operadores compactos . Supóngase que π es la función cociente. Por el teorema de Atkinson , un elemento invertible en K tiene la forma π( T ) donde T es un operador de Fredholm . El grupo de índices Λ K es nuevamente un grupo discreto numerable. De hecho, Λ K es isomorfo al grupo aditivo de números enteros Z , a través del índice de Fredholm . En otras palabras, para los operadores de Fredholm, las dos nociones de índice coinciden.