Límite de Shilov

En el análisis funcional , el límite de Shilov es el subconjunto cerrado más pequeño del espacio de estructura de un álgebra de Banach conmutativa donde se cumple un análogo del principio de módulo máximo . Recibe su nombre en honor a su descubridor, Georgii Evgen'evich Shilov .

Definición precisa y existencia

Sea un álgebra de Banach conmutativa y sea su espacio de estructura equipado con la topología débil relativa del dual . Un subconjunto cerrado (en esta topología) de se denomina frontera de si para todo . El conjunto se denomina frontera de Shilov . Shilov ^[1] ha demostrado que es una frontera de . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle \max _{f\in \Delta {\mathcal {A}}}|f(x)|=\max _{f\in F}|f(x)|}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}$ ${\textstyle S=\bigcap \{F:F{\text{ is a boundary of }}{\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Por lo tanto, también se puede decir que el límite de Shilov es el único conjunto que satisface ${\displaystyle S\subset \Delta {\mathcal {A}}}$

1. ${\displaystyle S}$es un límite de , y ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$
2. siempre que sea un límite de , entonces . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S\subset F}$

Ejemplos

Sea el disco unitario abierto en el plano complejo y sea el álgebra de discos , es decir las funciones holomorfas en y continuas en la clausura de con norma suprema y operaciones algebraicas usuales. Entonces y . ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=H^{\infty }(\mathbb {D} )\cap {\mathcal {C}}({\bar {\mathbb {D} }})}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \Delta {\mathcal {A}}={\bar {\mathbb {D} }}}$ ${\displaystyle S=\{|z|=1\}}$

Referencias

• "Límite de Bergman-Shilov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Notas

1. Teorema 4.15.4 en Einar Hille , Ralph S. Phillips : Análisis funcional y semigrupos. -- AMS, Providence 1957.

Véase también

• Límite de James
• Límite de Furstenberg