análisis p-ádico

En matemáticas , el análisis p -ádico es una rama de la teoría de números que se ocupa del análisis matemático de funciones de números p -ádicos .

La teoría de funciones numéricas de valor complejo sobre números p -ádicos es parte de la teoría de grupos localmente compactos . El significado habitual que se le da al análisis p -ádico es la teoría de funciones de valor p -ádico sobre espacios de interés.

Las aplicaciones del análisis p -ádico se han dado principalmente en la teoría de números , donde tiene un papel significativo en la geometría diofántica y la aproximación diofántica . Algunas aplicaciones han requerido el desarrollo del análisis funcional p -ádico y la teoría espectral . En muchos sentidos, el análisis p -ádico es menos sutil que el análisis clásico , ya que la desigualdad ultramétrica significa, por ejemplo, que la convergencia de series infinitas de números p -ádicos es mucho más simple. Los espacios vectoriales topológicos sobre cuerpos p -ádicos muestran características distintivas; por ejemplo, los aspectos relacionados con la convexidad y el teorema de Hahn-Banach son diferentes.

Resultados importantes

Teorema de Ostrowski

El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que cada valor absoluto no trivial de los números racionales Q es equivalente al valor absoluto real usual o a un valor absoluto $p$ -ádico . ^[1]

Teorema de Mahler

El teorema de Mahler , introducido por Kurt Mahler , ^{[2] expresa funciones}p -ádicas continuas en términos de polinomios.

En cualquier campo de característica 0, se tiene el siguiente resultado. Sea

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

sea el operador de diferencia hacia delante . Entonces, para las funciones polinómicas f tenemos la serie de Newton :

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},

dónde

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

es el polinomio de coeficiente binomial k -ésimo.

En el campo de los números reales, la suposición de que la función f es un polinomio puede debilitarse, pero no puede debilitarse hasta el punto de la mera continuidad .

Mahler demostró el siguiente resultado:

Teorema de Mahler : si f es una función continua de valor p-ádico sobre los enteros p -ádicos, entonces se cumple la misma identidad.

Lema de Hensel

El lema de Hensel, también conocido como lema de elevación de Hensel, llamado así por Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular que establece que si una ecuación polinómica tiene una raíz simple módulo un número primo $p$ , entonces esta raíz corresponde a una raíz única de la misma ecuación módulo cualquier potencia superior de $p$ , que se puede encontrar " elevando " iterativamente la solución módulo potencias sucesivas de $p$ . De manera más general, se utiliza como un nombre genérico para análogos de anillos conmutativos completos (incluidos los campos p -ádicos en particular) del método de Newton para resolver ecuaciones. Dado que el análisis p -ádico es en algunos aspectos más simple que el análisis real , existen criterios relativamente fáciles que garantizan una raíz de un polinomio.

Para expresar el resultado, sea un polinomio con coeficientes enteros (o enteros p -ádicos), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un entero tal que $f(x)$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

entonces existe un entero s tal que

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Además, este s es único módulo p ^{k + m} , y puede calcularse explícitamente como

s=r+tp^{k}

dónde

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

Aplicaciones

Principio local-global

El principio local-global de Helmut Hasse , también conocido como principio de Hasse, es la idea de que se puede hallar una solución entera a una ecuación utilizando el teorema del resto chino para unir soluciones módulo potencias de cada número primo diferente . Esto se maneja examinando la ecuación en las compleciones de los números racionales : los números reales y los números p -ádicos . Una versión más formal del principio de Hasse establece que ciertos tipos de ecuaciones tienen una solución racional si y solo si tienen una solución en los números reales y en los números p -ádicos para cada primo p .

Véase también

Referencias

^ Koblitz, Neal (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádico y funciones zeta (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 3.ISBN 978-0-387-96017-3. Recuperado el 24 de agosto de 2012. Teorema 1 (Ostrowski) . Toda norma no trivial ‖ ‖ en es equivalente a $|$ $|$ $p$ para algún primo $p$ o para $p$ $= \infty$ . $\mathbb {Q}$
^ Mahler, K. (1958), "Una serie de interpolación para funciones continuas de una variable p-ádica", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1958 (199): 23–34, doi :10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102, SEÑOR 0095821, S2CID 199546556

Lectura adicional

Koblitz, Neal (1980). Análisis p-ádico: un breve curso sobre trabajos recientes . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 46. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-28060-5.Zbl 0439.12011 .
Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 3. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-31525-5.Zbl 0595.12006 .
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). "Complejidad de la resolución de ecuaciones polinómicas sobre números enteros p-ádicos". Univ. Of Bonn CS Reports 85183 . S2CID 120604553.
Karpinski, Marek ; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Prueba cero de polinomios p-ádicos y modulares". Ciencias de la Computación Teórica . 233 (1–2): 309–317. doi :10.1016/S0304-3975(99)00133-4.(preimpresión)
Un curso de análisis p-ádico, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Cálculo ultramétrico: una introducción al análisis p-ádico, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
Ecuaciones diferenciales p-ádicas, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5