En matemáticas , un grupo localmente compacto es un grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y Hausdorff . Los grupos localmente compactos son importantes porque muchos ejemplos de grupos que surgen en matemáticas son localmente compactos y dichos grupos tienen una medida natural llamada medida de Haar . Esto permite definir integrales de funciones medibles de Borel en G para que se puedan generalizar nociones de análisis estándar como la transformada de Fourier y los espacios .
Muchos de los resultados de la teoría de la representación de grupos finitos se prueban promediando el grupo. Para grupos compactos, las modificaciones de estas pruebas producen resultados similares al promediar con respecto a la integral de Haar normalizada . En el entorno general localmente compacto, tales técnicas no tienen por qué ser válidas. La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La teoría de la representación para grupos abelianos localmente compactos se describe mediante la dualidad de Pontryagin .
Por homogeneidad, la compacidad local del espacio subyacente para un grupo topológico sólo necesita verificarse en la identidad. Es decir, un grupo G es un espacio localmente compacto si y sólo si el elemento identidad tiene una vecindad compacta . De ello se deduce que hay una base local de barrios compactos en cada punto.
Un grupo topológico es Hausdorff si y sólo si el subgrupo trivial de un elemento es cerrado.
Todo subgrupo cerrado de un grupo localmente compacto es localmente compacto. (La condición de cierre es necesaria como lo demuestra el grupo de racionales). Por el contrario, todo subgrupo localmente compacto de un grupo de Hausdorff es cerrado. Todo cociente de un grupo localmente compacto es localmente compacto. El producto de una familia de grupos localmente compactos es localmente compacto si y sólo si todos los factores, excepto un número finito, son realmente compactos.
Los grupos topológicos son siempre completamente regulares como espacios topológicos. Los grupos localmente compactos tienen la fuerte propiedad de ser normales .
Cada grupo localmente compacto que es primero contable se puede medir como un grupo topológico (es decir, se le puede dar una métrica invariante por la izquierda compatible con la topología) y es completo . Si además el espacio es contable en segundo lugar , se puede elegir que la métrica sea adecuada. (Consulte el artículo sobre grupos topológicos ).
En un grupo polaco G , la σ-álgebra de conjuntos nulos de Haar satisface la condición de cadena contable si y sólo si G es localmente compacto. [1]
Para cualquier grupo A abeliano localmente compacto (LCA) , el grupo de homomorfismos continuos
de A al grupo circular vuelve a ser localmente compacto. La dualidad de Pontryagin afirma que este functor induce una equivalencia de categorías
Este funtor intercambia varias propiedades de grupos topológicos. Por ejemplo, los grupos finitos corresponden a grupos finitos, los grupos compactos corresponden a grupos discretos y los grupos metrizables corresponden a uniones contables de grupos compactos (y viceversa en todos los enunciados).
Los grupos LCA forman una categoría exacta , siendo los monomorfismos admisibles subgrupos cerrados y los epimorfismos admisibles mapas de cocientes topológicos. Por tanto, es posible considerar el espectro de la teoría K de esta categoría. Clausen (2017) ha demostrado que mide la diferencia entre la teoría K algebraica de Z y R , los números enteros y los reales, respectivamente, en el sentido de que existe una secuencia de fibras homotópica.
