Campo completo

En matemáticas , un cuerpo completo es un cuerpo dotado de una métrica y completo con respecto a dicha métrica. Algunos ejemplos básicos son los números reales , los números complejos y los cuerpos con valores completos (como los números p -ádicos ).

Construcciones

Números reales y complejos

Los números reales son el cuerpo con la métrica euclidiana estándar . Como se construye a partir de la completitud de respecto de esta métrica, es un cuerpo completo. Extendiendo los reales por su clausura algebraica se obtiene el cuerpo (ya que su grupo de Galois absoluto es ). En este caso, también es un cuerpo completo, pero no es así en muchos casos. ${\displaystyle |x-y|}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

p-ádico

Los números p-ádicos se construyen utilizando el valor absoluto p-ádico ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle v_{p}(a/b)=v_{p}(a)-v_{p}(b)}$

donde Entonces, utilizando la factorización donde no divide su valoración es el entero . La compleción de por es el campo completo llamado números p-ádicos. Este es un caso en el que el campo ^[1] no está cerrado algebraicamente. Normalmente, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo de nuevo. Este campo suele denotarse ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle a=p^{n}c}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}.}$

Campo de funciones de una curva

Para el campo de funciones de una curva, cada punto corresponde a un valor absoluto o lugar . Dado un elemento expresado por una fracción, el lugar mide el orden de desaparición de at menos el orden de desaparición de at . Entonces, la compleción de at da un nuevo campo. Por ejemplo, si at es el origen en la carta afín , entonces la compleción de at es isomorfa al anillo de series de potencias. ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle X/k,}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle f\in k(X)}$ ${\displaystyle g/h,}$ ${\displaystyle v_{p}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle p=[0:1],}$ ${\displaystyle x_{1}\neq 0,}$ ${\displaystyle k(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k((x)).}$

Referencias

1. Koblitz, Neal. (1984). Números p-ádicos, análisis p-ádicos y funciones zeta (segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York. págs. 52–75. ISBN 978-1-4612-1112-9.OCLC 853269675  .

Véase también

• Compleción (álgebra)  : en álgebra, cualquiera de varios funtores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico completo  : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán a un punto
• Lema de Hensel  – Resultado en aritmética modular
• Anillo henseliano  : anillo local en el que se cumple el lema de HenselPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo compacto  – Grupo topológico con topología compacta
• Campo localmente compacto
• Grupo cuántico localmente compacto  : un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo para los grupos cuánticosPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Grupo localmente compacto  : grupo topológico para el cual la topología subyacente es localmente compacta y de Hausdorff, de modo que se puede definir la medida de HaarPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Teorema de Ostrowski  – Sobre todos los valores absolutos de números racionales
• Grupo abeliano topológico  : grupo topológico cuyo grupo es abeliano.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Campo topológico  – Estructura algebraica con adición, multiplicación y divisiónPages displaying short descriptions of redirect targets
• Grupo topológico  – Grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
• Módulo topológico
• Anillo topológico  : anillo en el que las operaciones del anillo son continuas.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Semigrupo topológico  – semigrupo con funcionamiento continuoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad