Grupo cuántico localmente compacto

En matemáticas y física teórica , un grupo cuántico localmente compacto es un enfoque algebraico C* relativamente nuevo para los grupos cuánticos que generaliza los enfoques del álgebra de Kac , el grupo cuántico compacto y el álgebra de Hopf . Los intentos anteriores de una definición unificadora de los grupos cuánticos utilizando, por ejemplo, unitarios multiplicativos han tenido cierto éxito, pero también han encontrado varios problemas técnicos.

Una de las principales características que distinguen a este nuevo enfoque de sus predecesores es la existencia axiomática de pesos invariantes izquierdos y derechos. Esto proporciona un análogo no conmutativo de las medidas de Haar izquierdas y derechas en un grupo de Hausdorff localmente compacto.

Definiciones

Antes de que podamos empezar a definir correctamente un grupo cuántico localmente compacto, primero debemos definir una serie de conceptos preliminares y también enunciar algunos teoremas.

Definición (peso). Sea una C*-álgebra , y sea el conjunto de elementos positivos de . Un peso de es una función tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\geq 0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$

• ${\displaystyle \phi (a_{1}+a_{2})=\phi (a_{1})+\phi (a_{2})}$para todos , y ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\geq 0}}$
• ${\displaystyle \phi (r\cdot a)=r\cdot \phi (a)}$para todos y . ${\displaystyle r\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$

Algunas notaciones para pesos. Sea un peso en un álgebra de C* . Usamos la siguiente notación: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}:=\{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)<\infty \}}$, que se denomina el conjunto de todos los elementos integrables positivos ${\displaystyle \phi }$ de . ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }:=\{a\in A\mid \phi (a^{*}a)<\infty \}}$, que se denomina el conjunto de todos los elementos integrables al cuadrado de . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }:={\text{Span}}~{\mathcal {M}}_{\phi }^{+}={\text{Span}}~{\mathcal {N}}_{\phi }^{*}{\mathcal {N}}_{\phi }}$, que se denomina el conjunto de elementos todos integrables de . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$

Tipos de pesos. Sea un peso en una C*-álgebra . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$

• Decimos que es fiel si y sólo si para cada valor distinto de cero . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (a)\neq 0}$ ${\displaystyle a\in A_{\geq 0}}$
• Decimos que es semicontinuo inferior si y sólo si el conjunto es un subconjunto cerrado de para cada . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \{a\in A_{\geq 0}\mid \phi (a)\leq \lambda \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,\infty ]}$
• Decimos que está densamente definido si y solo si es un subconjunto denso de , o equivalentemente, si y solo si o es un subconjunto denso de . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$ ${\displaystyle A_{\geq 0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\phi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\phi }}$ ${\displaystyle A}$
• Decimos que es propio si y sólo si es distinto de cero, semicontinuo inferior y densamente definido. ${\displaystyle \phi }$

Definición (grupo de un parámetro). Sea un C*-álgebra. Un grupo de un parámetro en es una familia de *-automorfismos de que satisface para todo . Decimos que es norma-continua si y solo si para todo , la aplicación definida por es continua (¿seguramente esto debería llamarse fuertemente continuo?). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha _{s}\circ \alpha _{t}=\alpha _{s+t}}$ ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to A}$ ${\displaystyle t\mapsto {\alpha _{t}}(a)}$

Definición (extensión analítica de un grupo de un parámetro). Dado un grupo de un parámetro continuo en la norma en un C*-álgebra , vamos a definir una extensión analítica de . Para cada , sea ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle I(z):=\{y\in \mathbb {C} \mid |\Im (y)|\leq |\Im (z)|\}}$,

que es una franja horizontal en el plano complejo. Llamamos a una función norma-regular si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle f:I(z)\to A}$

• Es analítica en el interior de , es decir, para cada en el interior de , el límite existe con respecto a la topología norma en . ${\displaystyle I(z)}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle I(z)}$ ${\displaystyle \displaystyle \lim _{y\to y_{0}}{\frac {f(y)-f(y_{0})}{y-y_{0}}}}$ ${\displaystyle A}$
• Está limitado por normas en . ${\displaystyle I(z)}$
• Es norma continua en . ${\displaystyle I(z)}$

Supongamos ahora que , y sea ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} }$

${\displaystyle D_{z}:=\{a\in A\mid {\text{There exists a norm-regular}}~f:I(z)\to A~{\text{such that}}~f(t)={\alpha _{t}}(a)~{\text{for all}}~t\in \mathbb {R} \}.}$

Definir por . La función está determinada de forma única (por la teoría de funciones analíticas complejas), por lo que está bien definida. La familia se denomina entonces extensión analítica de . ${\displaystyle \alpha _{z}:D_{z}\to A}$ ${\displaystyle {\alpha _{z}}(a):=f(z)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha _{z}}$ ${\displaystyle (\alpha _{z})_{z\in \mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Teorema 1. El conjunto , llamado conjunto de elementos analíticos de , es un subconjunto denso de . ${\displaystyle \cap _{z\in \mathbb {C} }D_{z}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Definición (peso KMS). Sea un álgebra C* y un peso en . Decimos que es un peso KMS ('KMS' significa 'Kubo-Martin-Schwinger') en si y solo si es un peso propio en y existe un grupo de un parámetro continuo en la norma tal que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :A_{\geq 0}\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\sigma _{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \phi }$es invariante bajo , es decir, para todos , y ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \phi \circ \sigma _{t}=\phi }$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• para cada , tenemos . ${\displaystyle a\in {\text{Dom}}(\sigma _{i/2})}$ ${\displaystyle \phi (a^{*}a)=\phi (\sigma _{i/2}(a)[\sigma _{i/2}(a)]^{*})}$

Denotamos por el álgebra multiplicadora de . ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle A}$

Teorema 2. Si y son C*-álgebras y es un *-homomorfismo no degenerado (es decir, es un subconjunto denso de ), entonces podemos extender de manera única a un *-homomorfismo . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi :A\to M(B)}$ ${\displaystyle \pi [A]B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\overline {\pi }}:M(A)\to M(B)}$

Teorema 3. Si es un estado (es decir, una funcional lineal positiva de norma ) en , entonces podemos extender de manera única a un estado en . ${\displaystyle \omega :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\overline {\omega }}:M(A)\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M(A)}$

Definición (Grupo cuántico localmente compacto). Un grupo cuántico localmente compacto (C*-algebraico) es un par ordenado , donde es una C*-álgebra y es un *-homomorfismo no degenerado llamado co-multiplicación , que satisface las siguientes cuatro condiciones: ${\displaystyle {\mathcal {G}}=(A,\Delta )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta :A\to M(A\otimes A)}$

• La co-multiplicación es co-asociativa, es decir, . ${\displaystyle {\overline {\Delta \otimes \iota }}\circ \Delta ={\overline {\iota \otimes \Delta }}\circ \Delta }$
• Los conjuntos y son subconjuntos linealmente densos de . ${\displaystyle \left\{{\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))~{\big |}~\omega \in A^{*},~a\in A\right\}}$ ${\displaystyle A}$
• Existe un peso KMS fiel que es invariante a la izquierda, es decir, para todos y . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi \!\left({\overline {\omega \otimes {\text{id}}}}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \phi (a)}$ ${\displaystyle \omega \in A^{*}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$
• Existe un peso KMS que es invariante a la derecha, es decir, para todos y . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi \!\left({\overline {{\text{id}}\otimes \omega }}(\Delta (a))\right)={\overline {\omega }}(1_{M(A)})\cdot \psi (a)}$ ${\displaystyle \omega \in A^{*}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}_{\phi }^{+}}$

A partir de la definición de un grupo cuántico localmente compacto, se puede demostrar que el peso KMS invariante por la derecha es automáticamente fiel. Por lo tanto, la fidelidad de es una condición redundante y no necesita postularse. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Dualidad

La categoría de grupos cuánticos localmente compactos permite una construcción dual con la que se puede demostrar que el bidual de un grupo cuántico localmente compacto es isomorfo al original. Este resultado proporciona una generalización de gran alcance de la dualidad de Pontryagin para grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos.

Formulaciones alternativas

La teoría tiene una formulación equivalente en términos de álgebras de von Neumann .

Véase también

• Espacio localmente compacto
• Campo localmente compacto
• Grupo compacto localmente

Referencias

• Johan Kustermans y Stefan Vaes. "Grupos cuánticos localmente compactos". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. vol. 33, núm. 6 (2000), págs. 837–934.
• Thomas Timmermann. “Una invitación a los grupos cuánticos y la dualidad: desde las álgebras de Hopf hasta las unitarias multiplicativas y más allá”. EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society (2008).