grupo cuántico

Constructo algebraico de interés en física teórica.

En matemáticas y física teórica , el término grupo cuántico denota uno de los pocos tipos diferentes de álgebras no conmutativas con estructura adicional. Estos incluyen grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo (que son álgebras de Hopf cuasitriangulares ), grupos cuánticos matriciales compactos (que son estructuras en álgebras C* separables unitales ) y grupos cuánticos de biproductos cruzados. A pesar de su nombre, ellos mismos no tienen una estructura de grupo natural, aunque en cierto sentido están "cercanos" a un grupo.

El término "grupo cuántico" apareció por primera vez en la teoría de sistemas cuánticos integrables , que luego fue formalizado por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una clase particular de álgebra de Hopf . El mismo término también se utiliza para otras álgebras de Hopf que deforman o están cerca de los grupos de Lie clásicos o álgebras de Lie , como una clase de "biproducto cruzado" de grupos cuánticos introducida por Shahn Majid un poco después del trabajo de Drinfeld y Jimbo.

En el enfoque de Drinfeld, los grupos cuánticos surgen como álgebras de Hopf dependiendo de un parámetro auxiliar q o h , que se convierten en álgebras envolventes universales de una determinada álgebra de Lie, frecuentemente semisimple o afín , cuando q = 1 o h = 0. Estrechamente relacionados están ciertos objetos duales. , también álgebras de Hopf y también llamados grupos cuánticos, deformando el álgebra de funciones sobre el correspondiente grupo algebraico semisimple o un grupo compacto de Lie .

Significado intuitivo

El descubrimiento de los grupos cuánticos fue bastante inesperado, ya que se sabía desde hacía mucho tiempo que los grupos compactos y las álgebras de Lie semisimples son objetos "rígidos", es decir, que no pueden "deformarse". Una de las ideas detrás de los grupos cuánticos es que si consideramos una estructura que es en cierto sentido equivalente pero más grande, es decir, un álgebra de grupos o un álgebra envolvente universal , entonces un álgebra de grupos o álgebra envolvente puede "deformarse", aunque la deformación ya no sigue siendo un álgebra de grupo o un álgebra envolvente. Más precisamente, la deformación se puede lograr dentro de la categoría de álgebras de Hopf que no requieren que sean conmutativas ni cocommutativas . Se puede pensar en el objeto deformado como un álgebra de funciones en un "espacio no conmutativo", en el espíritu de la geometría no conmutativa de Alain Connes . Esta intuición, sin embargo, surgió después de que clases particulares de grupos cuánticos ya hubieran demostrado su utilidad en el estudio de la ecuación cuántica de Yang-Baxter y el método cuántico de dispersión inversa desarrollado por la Escuela de Leningrado ( Ludwig Faddeev , Leon Takhtajan , Evgeny Sklyanin , Nicolai Reshetikhin y Vladimir Korepin ) y trabajos relacionados de la Escuela Japonesa. ^[1] La intuición detrás de la segunda clase de grupos cuánticos, bicrossproduct , era diferente y provino de la búsqueda de objetos autoduales como una aproximación a la gravedad cuántica . ^[2]

Grupos cuánticos tipo Drinfeld-Jimbo

Un tipo de objetos comúnmente llamado "grupo cuántico" apareció en el trabajo de Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una deformación del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple o, más generalmente, un álgebra de Kac-Moody , en la categoría de Hopf. álgebras . El álgebra resultante tiene una estructura adicional, lo que la convierte en un álgebra de Hopf cuasitriangular .

Sea A = ( a _ij ) la matriz de Cartan del álgebra de Kac-Moody, y sea q ≠ 0, 1 un número complejo, entonces el grupo cuántico, U _q ( G ), donde G es el álgebra de Lie cuya matriz de Cartan es A , se define como el álgebra asociativa unital con generadores k _λ (donde λ es un elemento de la red de pesos , es decir, 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) es un número entero para todo i ), y e _i y f _i (para raíces simples , α _i ), sujeto a las siguientes relaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

Y para i ≠ j tenemos las relaciones q -Serre, que son deformaciones de las relaciones de Serre :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

donde el q-factorial , el q-análogo del factorial ordinario , se define recursivamente usando el número q:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

En el límite cuando q → 1, estas relaciones se aproximan a las relaciones del álgebra envolvente universal U ( G ), donde

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

y t _λ es el elemento de la subálgebra de Cartan que satisface ( t _λ , h ) = λ ( h ) para todo h en la subálgebra de Cartan.

Hay varios coproductos coasociativos bajo los cuales estas álgebras son álgebras de Hopf, por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

donde el conjunto de generadores se ha ampliado, si es necesario, para incluir k _λ para λ que se puede expresar como la suma de un elemento de la red de pesos y medio elemento de la red de raíces .

Además, cualquier álgebra de Hopf conduce a otra con coproducto invertido T o Δ, donde T viene dado por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , dando tres versiones más posibles.

La unidad de U _q ( A ) es la misma para todos estos coproductos: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0, y las respectivas antípodas para los coproductos anteriores están dadas por

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

Alternativamente, el grupo cuántico U _q ( G ) puede considerarse como un álgebra sobre el campo C ( q ), el campo de todas las funciones racionales de un indeterminado q sobre C .

De manera similar, el grupo cuántico U _q ( G ) puede considerarse como un álgebra sobre el campo Q ( q ), el campo de todas las funciones racionales de un indeterminado q sobre Q (ver más abajo en la sección sobre grupos cuánticos en q = 0) . El centro del grupo cuántico puede describirse mediante un determinante cuántico.

Teoría de la representación

Así como hay muchos tipos diferentes de representaciones para las álgebras de Kac-Moody y sus álgebras envolventes universales, también hay muchos tipos diferentes de representaciones para los grupos cuánticos.

Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, U _q ( G ) tiene una representación adjunta sobre sí misma como módulo, estando la acción dada por

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

dónde

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

Caso 1: q no es raíz de unidad

Un tipo importante de representación es la representación de peso, y el módulo correspondiente se denomina módulo de peso. Un módulo de peso es un módulo con una base de vectores de peso. Un vector de peso es un vector distinto de cero v tal que k _λ · v = d _λ v para todo λ , donde d _λ son números complejos para todos los pesos λ tales que

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$para todos los pesos λ y μ .

Un módulo de peso se llama integrable si las acciones de e _i y f _i son localmente nilpotentes (es decir, para cualquier vector v en el módulo, existe un entero positivo k , posiblemente dependiente de v , tal que para todo i ). En el caso de módulos integrables, los números complejos d _λ asociados con un vector de peso satisfacen , ^{[ cita necesaria ]} donde ν es un elemento de la red de peso, y c _λ son números complejos tales que ${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$ ${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$para todos los pesos λ y μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$para todos yo .

De especial interés son las representaciones de mayor peso y los correspondientes módulos de mayor peso. Un módulo de peso más alto es un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k _λ · v = d _λ v para todos los pesos μ , y e _i · v = 0 para todos los i . De manera similar, un grupo cuántico puede tener una representación de peso más bajo y un módulo de peso más bajo, es decir, un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k _λ · v = d _λ v para todos los pesos λ , y f _i · v = 0 para todos i .

Defina un vector v para que tenga peso ν si es para todo λ en la red de pesos. ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Si G es un álgebra de Kac-Moody, entonces en cualquier representación irreducible de mayor peso de U _q ( G ), con mayor peso ν, las multiplicidades de los pesos son iguales a sus multiplicidades en una representación irreducible de U ( G ) con igual valor más alto. peso. Si el peso más alto es dominante e integral (un peso μ es dominante e integral si μ satisface la condición de que sea un entero no negativo para todo i ), entonces el espectro de pesos de la representación irreducible es invariante bajo el grupo de Weyl para G , y la representación es integrable. ${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

Por el contrario, si un módulo de mayor peso es integrable, entonces su vector de mayor peso v satisface , donde c _λ · v = d _λ v son números complejos tales que ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$para todos los pesos λ y μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$por todo yo ,

y ν es dominante e integral.

Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, el producto tensorial de dos módulos es otro módulo. Para un elemento x de U _q (G) , y para los vectores v y w en los respectivos módulos, x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), de modo que , y en el caso de coproducto Δ1 , y_​ ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$ ${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

El módulo de peso más alto integrable descrito anteriormente es un producto tensorial de un módulo unidimensional (en el que k _λ = c _λ para todo λ , y e _i = f _i = 0 para todo i ) y un módulo de peso más alto generado por un módulo distinto de cero vector v ₀ , sujeto a para todos los pesos λ y para todos i . ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

En el caso específico donde G es un álgebra de Lie de dimensión finita (como un caso especial de un álgebra de Kac-Moody), entonces las representaciones irreducibles con pesos integrales dominantes más altos también son de dimensión finita.

En el caso de un producto tensorial de módulos de mayor peso, su descomposición en submódulos es la misma que para el producto tensorial de los módulos correspondientes del álgebra de Kac-Moody (los pesos más altos son los mismos, al igual que sus multiplicidades).

Caso 2: q es raíz de la unidad

Cuasitriangularidad

Caso 1: q no es raíz de unidad

Estrictamente, el grupo cuántico U _q ( G ) no es cuasitriangular, pero puede considerarse "casi cuasitriangular" en el sentido de que existe una suma formal infinita que desempeña el papel de una matriz R. Esta suma formal infinita se puede expresar en términos de generadores e _i y f _i , y generadores de Cartan t _λ , donde k _λ se identifica formalmente con q ^{t _λ} . La suma formal infinita es el producto de dos factores, ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

y una suma formal infinita, donde λ _j es una base para el espacio dual de la subálgebra de Cartan, y μ _j es la base dual, y η = ±1.

La suma infinita formal que desempeña el papel de la matriz R tiene una acción bien definida sobre el producto tensorial de dos módulos irreducibles de mayor peso, y también sobre el producto tensorial de dos módulos de menor peso. Específicamente, si v tiene peso α y w tiene peso β , entonces

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

y el hecho de que los módulos sean ambos módulos de mayor peso o ambos módulos de menor peso reduce la acción del otro factor sobre v ⊗ W a una suma finita.

Específicamente, si V es un módulo de mayor peso, entonces la suma infinita formal, R , tiene una acción bien definida e invertible sobre V ⊗ V , y este valor de R (como elemento de End( V ⊗ V )) Satisface la ecuación de Yang-Baxter y, por lo tanto, nos permite determinar una representación del grupo de trenzas y definir cuasiinvariantes para nudos , eslabones y trenzas .

Caso 2: q es raíz de la unidad

Grupos cuánticos en q = 0

Masaki Kashiwara ha investigado el comportamiento limitante de los grupos cuánticos como q → 0, y encontró una base que se comporta particularmente bien llamada base cristalina .

Descripción y clasificación por sistemas de raíces y diagramas de Dynkin.

Ha habido un progreso considerable en la descripción de cocientes finitos de grupos cuánticos como el anterior U _q ( g ) para q ⁿ = 1; Por lo general, se considera la clase de álgebras de Hopf puntiagudas , lo que significa que todos los comódulos simples izquierdos o derechos son unidimensionales y, por lo tanto, la suma de todas sus subcoálgebras simples forma un álgebra de grupo llamada coradical :

• En 2002, H.-J. Schneider y N. Andruskiewitsch ^[3] terminaron su clasificación de álgebras de Hopf puntiagudas con un grupo co-radical abeliano (excluyendo los primos 2, 3, 5, 7), especialmente porque los cocientes finitos anteriores de U _q ( g ) se descomponen en E ′ s (parte de Borel), F ′s dual y K ′s (álgebra de Cartan) como las álgebras de Lie semisimples ordinarias :

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Aquí, como en la teoría clásica, V es un espacio vectorial trenzado de dimensión n atravesado por los E ′s, y σ (el llamado giro de cociclo) crea el vínculo no trivial entre E ′s y F ′s. Tenga en cuenta que, a diferencia de la teoría clásica, pueden aparecer más de dos componentes vinculados. El papel del álgebra cuántica de Borel lo asume el álgebra de Nichols del espacio vectorial trenzado. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

Diagrama de Dynkin generalizado para un álgebra de Hopf puntiaguda que une cuatro copias A3

• Un ingrediente crucial fue la clasificación de I. Heckenberger de álgebras finitas de Nichols para grupos abelianos en términos de diagramas de Dynkin generalizados . ^[4] Cuando hay números primos pequeños, ocurren algunos ejemplos exóticos, como un triángulo (ver también la Figura de un diagrama de Dankin de rango 3).

Un diagrama de Dynkin de rango 3 asociado a un álgebra de Nichols de dimensión finita

• Mientras tanto, Schneider y Heckenberger ^[5] han demostrado en general la existencia de un sistema de raíces aritméticas también en el caso no abeliano, generando una base PBW como lo demostró Kharcheko en el caso abeliano (sin el supuesto de dimensión finita). Esto se puede utilizar ^[6] en casos específicos U _q ( g ) y explica, por ejemplo, la coincidencia numérica entre ciertas subálgebras coideales de estos grupos cuánticos y el orden del grupo de Weyl del álgebra de Lie g .

Grupos cuánticos de matriz compacta

SL Woronowicz introdujo grupos cuánticos de matrices compactas. Los grupos cuánticos matriciales compactos son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" de la estructura están dadas por elementos de un álgebra C* . La geometría de un grupo cuántico de matriz compacta es un caso especial de geometría no conmutativa .

Las funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff forman un álgebra C* conmutativa. Según el teorema de Gelfand , un álgebra C* conmutativa es isomorfa al álgebra C* de funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado únicamente por el álgebra C* hasta el homeomorfismo .

Para un grupo topológico compacto , G , existe un homomorfismo de álgebra C* Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (donde C ( G ) ⊗ C ( G ) es el tensor de álgebra C* producto: la finalización del producto tensorial algebraico de C ( G ) y C ( G )), tal que Δ( f )( x , y ) = f ( xy ) para todo f ∈ C ( G ), y para todo x , y ∈ G (donde ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) para todo f , g ∈ C ( G ) y todo x , y ∈ G ). También existe una aplicación multiplicativa lineal κ : C ( G ) → C ( G ), tal que κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) para todo f ∈ C ( G ) y todo x ∈ G . Estrictamente, esto no convierte a C ( G ) en un álgebra de Hopf, a menos que G sea finito. Por otro lado, se puede utilizar una representación de dimensión finita de G para generar una *-subálgebra de C ( G ) que también es una *-álgebra de Hopf. Específicamente, si es una representación n -dimensional de G , entonces para todo i , j u _ij ∈ C ( G ) y ${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

De ello se deduce que el álgebra * generada por u _ij para todo i, j y κ ( u _ij ) para todo i, j es un álgebra * de Hopf: la unidad está determinada por ε( u _ij ) = δ _ij para todo i , j (donde δ _ij es el delta de Kronecker ), la antípoda es κ y la unidad viene dada por

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Definición general

Como generalización, un grupo cuántico de matriz compacta se define como un par ( C , u ), donde C es un álgebra C* y es una matriz con entradas en C tales que ${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• La *-subálgebra, C ₀ , de C , que es generada por los elementos de la matriz de u , es densa en C ;

• Existe un homomorfismo de álgebra C* llamado comultiplicación Δ: C → C ⊗ C (donde C ⊗ C es el producto tensorial de álgebra C* - la compleción del producto tensorial algebraico de C y C ) tal que para todo i, j tenemos:

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• Existe un mapa antimultiplicativo lineal κ: C ₀ → C ₀ (el coinverso) tal que κ ( κ ( v *)*) = v para todo v ∈ C ₀ y

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

donde I es el elemento identidad de C . Dado que κ es antimultiplicativo, entonces κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) para todo v , w en C ₀ .

Como consecuencia de la continuidad, la comultiplicación en C es coasociativa.

En general, C no es una biálgebra y C ₀ es un álgebra de Hopf *.

Informalmente, C puede considerarse como el *-álgebra de funciones continuas de valores complejos sobre el grupo cuántico de matriz compacta, y u puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matriz compacta.

Representaciones

Una representación del grupo cuántico de matriz compacta viene dada por una representación correlativa del álgebra * de Hopf (una representación correlativa de una coalgebra coasociativa counital A es una matriz cuadrada con entradas en A (por lo que v pertenece a M( n , A )) tal que ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

para todo i , j y ε ( v _ij ) = δ _ij para todo i, j ). Además, una representación v se llama unitaria si la matriz para v es unitaria (o de manera equivalente, si κ( v _ij ) = v* _ij para todo i , j ).

Ejemplo

Un ejemplo de grupo cuántico de matriz compacta es SU _μ (2), donde el parámetro μ es un número real positivo. Entonces SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u ), donde C(SU _μ (2)) es el álgebra C* generada por α y γ, sujeta a

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

y

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

de modo que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, y el coinverso está determinado por κ(α) = α*, κ (γ) = −μ ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria. u es equivalente a la representación unitaria

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

De manera equivalente, SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w ), donde C(SU _μ (2)) es el álgebra C* generada por α y β, sujeta a

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

y

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

de modo que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, y el coinverso está determinado por κ(α) = α*, κ (β) = −μ ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que w es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar equiparando . ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Cuando μ = 1, entonces SU _μ (2) es igual al álgebra C (SU(2)) de funciones en el grupo compacto concreto SU(2).

Grupos cuánticos de bicrossproductos

Mientras que los pseudogrupos matriciales compactos son típicamente versiones de los grupos cuánticos de Drinfeld-Jimbo en una formulación de álgebra de función dual, con estructura adicional, los bicrossproducts son una segunda familia distinta de grupos cuánticos de creciente importancia como deformaciones de grupos de Lie solubles en lugar de semisimples. Están asociados a divisiones de Lie de álgebras de Lie o factorizaciones locales de grupos de Lie y pueden verse como el producto cruzado o cuantificación de Mackey de uno de los factores que actúan sobre el otro para el álgebra y una historia similar para el coproducto Δ con el segundo factor. actuando de nuevo sobre el primero.

El ejemplo no trivial más simple corresponde a dos copias de R que actúan localmente entre sí y dan como resultado un grupo cuántico (presentado aquí en forma algebraica) con generadores p , K , K ⁻¹ , digamos, y un coproducto.

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

donde h es el parámetro de deformación.

Este grupo cuántico estaba vinculado a un modelo de juguete de la física a escala de Planck que implementaba la reciprocidad de Born cuando se veía como una deformación del álgebra de la mecánica cuántica de Heisenberg. Además, comenzando con cualquier forma real compacta de un álgebra de Lie semisimple g su complejización como un álgebra de Lie real de dos veces la dimensión se divide en g y un cierto álgebra de Lie resoluble (la descomposición de Iwasawa ), y esto proporciona un grupo cuántico bicrossproduct canónico asociado a gramo . Para su (2) se obtiene una deformación de grupo cuántico del grupo euclidiano E (3) de movimientos en 3 dimensiones.

Ver también

• álgebra de hopf
• mentira bialgebra
• Grupo Poisson-Lie
• Álgebra afín cuántica

Notas

1. Schwiebert, Christian (1994), Dispersión inversa cuántica generalizada , p. 12237, arXiv : hep-th/9412237v3 , Bibcode : 1994hep.th...12237S
2. Majid, Shahn (1988), "Álgebras de Hopf para física en la escala de Planck", Gravedad clásica y cuántica , 5 (12): 1587–1607, Bibcode :1988CQGra...5.1587M, CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi :10.1088/0264-9381/5/12/010 
3. Andruskiewitsch, Schneider: Álgebras de Hopf puntiagudas, Nuevas direcciones en álgebras de Hopf, 1–68, Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publ., 43, Universidad de Cambridge. Prensa, Cambridge, 2002.
4. Heckenberger: Álgebras de Nichols de tipo diagonal y sistemas de raíces aritméticas, Tesis de habilitación 2005.
5. Heckenberger, Schneider: Sistema de raíces y gruppoide de Weyl para álgebras de Nichols, 2008.
6. Heckenberger, Schneider: Subálgebras coideales derechas de las álgebras de Nichols y el orden Duflo del grupoide Weyl, 2009.

Referencias

• Grensing, Gerhard (2013). Aspectos estructurales de la teoría cuántica de campos y la geometría no conmutativa . Científico mundial. doi :10.1142/8771. ISBN 978-981-4472-69-2.
• Jagannathan, R. (2001). "Algunas notas introductorias sobre grupos cuánticos, álgebras cuánticas y sus aplicaciones". arXiv : math-ph/0105002 .
• Kassel, Christian (1995), Grupos cuánticos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 155, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-0783-2, ISBN 978-0-387-94370-1, SEÑOR  1321145
• Lusztig, George (2010) [1993]. Introducción a los grupos cuánticos. Cambridge, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-817-64716-2.
• Majid, Shahn (2002), Introducción a los grupos cuánticos , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 292, Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511549892, ISBN 978-0-521-01041-2, señor  1904789
• Majid, Shahn (enero de 2006), "¿Qué es... un grupo cuántico?" (PDF) , Avisos de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 53 (1): 30–31 , consultado el 16 de enero de 2008
• Podles, P.; Muller, E. (1998), "Introducción a los grupos cuánticos", Reviews in Mathematical Physics , 10 (4): 511–551, arXiv : q-alg/9704002 , Bibcode :1998RvMaP..10..511P, doi :10.1142 /S0129055X98000173, S2CID  2596718
• Shnider, Steven ; Sternberg, Shlomo (1993). Grupos cuánticos: de las coalgebras a las álgebras de Drinfeld . Textos de Posgrado en Física Matemática. vol. 2. Cambridge, MA: Prensa internacional.
• Street, Ross (2007), Grupos cuánticos , Serie de conferencias de la Sociedad Australiana de Matemáticas, vol. 19, Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9780511618505, ISBN 978-0-521-69524-4, señor  2294803