Álgebra de Hopf cuasitriangular

En matemáticas , un álgebra de Hopf , H , es cuasitriangular ^[1] si existe un elemento invertible , R , de tal que ${\displaystyle H\otimes H}$

• ${\displaystyle R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)}$para todos , donde está el coproducto en H , y el mapa lineal está dado por , ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T:H\otimes H\to H\otimes H}$ ${\displaystyle T(x\otimes y)=y\otimes x}$

• ${\displaystyle (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}}$,

• ${\displaystyle (1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}}$,

donde , y , donde , y , son morfismos de álgebra determinados por ${\displaystyle R_{12}=\phi _{12}(R)}$ ${\displaystyle R_{13}=\phi _{13}(R)}$ ${\displaystyle R_{23}=\phi _{23}(R)}$ ${\displaystyle \phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$ ${\displaystyle \phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$ ${\displaystyle \phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H}$

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

R se llama matriz R.

Como consecuencia de las propiedades de la cuasitriangularidad, la matriz R, R , es una solución de la ecuación de Yang-Baxter (por lo que se puede utilizar un módulo V de H para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y eslabones ). También como consecuencia de las propiedades de cuasitriangularidad, ; además , , y . Se puede demostrar además que la antípoda S debe ser un isomorfismo lineal y, por tanto, S ² es un automorfismo. De hecho, S ² viene dado conjugando por un elemento invertible: donde (cf. álgebras de Ribbon Hopf ). ${\displaystyle (\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H}$ ${\displaystyle R^{-1}=(S\otimes 1)(R)}$ ${\displaystyle R=(1\otimes S)(R^{-1})}$ ${\displaystyle (S\otimes S)(R)=R}$ ${\displaystyle S^{2}(x)=uxu^{-1}}$ ${\displaystyle u:=m(S\otimes 1)R^{21}}$

Es posible construir un álgebra de Hopf cuasitriangular a partir de un álgebra de Hopf y su dual, utilizando la construcción doble cuántica de Drinfeld .

Si el álgebra de Hopf H es cuasitriangular, entonces la categoría de módulos sobre H está trenzada con trenzado

${\displaystyle c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)}$.

Retortijón

La propiedad de ser un álgebra de Hopf cuasi-triangular se conserva girando a través de un elemento invertible tal que y satisfaciendo la condición del cociclo ${\displaystyle F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}}$ ${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$

${\displaystyle (F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)}$

Además, es invertible y la antípoda retorcida está dada por , con la comultiplicación retorcida, la matriz R y el cambio de counidad según los definidos para el álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf . Tal giro se conoce como giro admisible (o giro Drinfeld). ${\displaystyle u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})}$ ${\displaystyle S'(a)=uS(a)u^{-1}}$

Ver también

• Álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf
• Álgebra de Hopf de cinta

Notas

1. Montgomery y Schneider (2002), pág. 72.

Referencias

• Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 82. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.
• Montgomery, Susan ; Schneider, Hans-Jürgen (2002). Nuevas direcciones en las álgebras de Hopf . Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas. vol. 43. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-81512-3. Zbl  0990.00022.