Álgebra de grupos de un grupo localmente compacto

Álgebra topológica asociada a grupos continuos.

En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , el álgebra de grupos es cualquiera de varias construcciones para asignar a un grupo localmente compacto un álgebra de operadores (o más generalmente un álgebra de Banach ), de modo que las representaciones del álgebra estén relacionadas con las representaciones del grupo. Como tales, son similares al anillo de grupo asociado a un grupo discreto.

El álgebra C c ( G ) de funciones continuas con soporte compacto

Si G es un grupo de Hausdorff localmente compacto , G lleva una medida de Borel μ esencialmente única e invariante a la izquierda contablemente aditiva llamada medida de Haar . Usando la medida de Haar, se puede definir una operación de convolución en el espacio C _c ( G ) de funciones continuas de valores complejos en G con soporte compacto ; A C _c ( G ) se le puede dar cualquiera de varias normas y la finalización será un álgebra grupal.

Para definir la operación de convolución, sean f y g dos funciones en C _c ( G ). Para t en G , defina

${\displaystyle [f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).}$

El hecho de que sea continua es inmediato del teorema de convergencia dominada . También ${\displaystyle f*g}$

${\displaystyle \operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)}$

donde el punto representa el producto en G . C _c ( G ) también tiene una involución natural definida por:

${\displaystyle f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})}$

donde Δ es la función modular en G . Con esta involución, es un *-álgebra .

Teorema. Con la norma:

${\displaystyle \|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),}$

C _c ( G ) se convierte en un álgebra normada involutiva con una identidad aproximada .

La identidad aproximada se puede indexar según la vecindad de la identidad que consta de conjuntos compactos. De hecho, si V es una vecindad compacta de la identidad, sea f _V una función continua no negativa soportada en V tal que

${\displaystyle \int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.}$

Entonces { f _V } _V es una identidad aproximada. Un álgebra de grupo tiene una identidad, a diferencia de solo una identidad aproximada, si y solo si la topología del grupo es la topología discreta .

Tenga en cuenta que para grupos discretos, C _c ( G ) es lo mismo que el anillo de grupo complejo C [ G ].

La importancia del álgebra de grupos es que captura la teoría de representación unitaria de G como se muestra en la siguiente

Teorema. Sea G un grupo localmente compacto. Si U es una representación unitaria fuertemente continua de G en un espacio de Hilbert H , entonces

${\displaystyle \pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)}$

es una representación * acotada no degenerada del álgebra normada C _c ( G ). El mapa

${\displaystyle U\mapsto \pi _{U}}$

es una biyección entre el conjunto de representaciones unitarias fuertemente continuas de G y representaciones * acotadas no degeneradas de C _c ( G ). Esta biyección respeta la equivalencia unitaria y una fuerte contención. En particular, π _U es irreducible si y sólo si U es irreducible.

La no degeneración de una representación π de C _c ( G ) en un espacio de Hilbert H _π significa que

${\displaystyle \left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}}$

es denso en H _π .

El álgebra de convolución L 1 ( G )

Es un teorema estándar de la teoría de la medida que la finalización de C _c ( G ) en la norma L ¹ ( G ) es isomorfa al espacio L ¹ ( G ) de clases de equivalencia de funciones que son integrables con respecto a la medida de Haar , donde, como es habitual, dos funciones se consideran equivalentes si y sólo si difieren sólo en un conjunto de medida de Haar cero.

Teorema. L ¹ ( G ) es un álgebra de Banach * con el producto de convolución y la involución definidos anteriormente y con la norma L ^{1 .} L ¹ ( G ) también tiene una identidad aproximada acotada.

El grupo C*-álgebra C* ( G )

Sea C [ G ] el anillo de grupo de un grupo discreto G .

Para un grupo G localmente compacto , el grupo C*-álgebra C* ( G ) de G se define como el C*-álgebra envolvente de L ¹ ( G ), es decir, la compleción de C _c ( G ) con respecto al norma C* más grande:

${\displaystyle \|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,}$

donde π abarca todas las representaciones * no degeneradas de C _c ( G ) en espacios de Hilbert. Cuando G es discreto, se deduce de la desigualdad del triángulo que, para cualquier π , se tiene:

${\displaystyle \|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},}$

por tanto, la norma está bien definida.

De la definición se deduce que, cuando G es un grupo discreto, C* ( G ) tiene la siguiente propiedad universal : cualquier *-homomorfismo de C [ G ] a algún B ( H ) (el álgebra C* de operadores acotados en algunos factores del espacio de Hilbert H ) a través del mapa de inclusión :

${\displaystyle \mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).}$

El grupo reducido C*-álgebra C r * ( G )

El grupo reducido C*-álgebra C _r * ( G ) es la compleción de C _c ( G ) con respecto a la norma

${\displaystyle \|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},}$

dónde

${\displaystyle \|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}}$

es la norma L ² . Dado que la compleción de C _c ( G ) con respecto a la norma L ² es un espacio de Hilbert, la norma C _r * es la norma del operador acotado que actúa sobre L ² ( G ) por convolución con f y por lo tanto un C*- norma.

De manera equivalente, C _r * ( G ) es el álgebra C* generada por la imagen de la representación regular izquierda en ℓ ² ( G ).

En general, C _r * ( G ) es un cociente de C* ( G ). El álgebra C* del grupo reducido es isomorfa al álgebra C* del grupo no reducido definida anteriormente si y sólo si G es susceptible .

Álgebras de von Neumann asociadas a grupos

El grupo de álgebra de von Neumann W* ( G ) de G es el álgebra envolvente de von Neumann de C* ( G ).

Para un grupo discreto G , podemos considerar el espacio de Hilbert ℓ ^​​2 ( G ) para el cual G es una base ortonormal . Dado que G opera en ℓ ² ( G ) permutando los vectores base, podemos identificar el anillo de grupo complejo C [ G ] con una subálgebra del álgebra de operadores acotados en ℓ ² ( G ). La clausura débil de esta subálgebra, NG , es un álgebra de von Neumann .

El centro de NG se puede describir en términos de aquellos elementos de G cuya clase de conjugación es finita. En particular, si el elemento identidad de G es el único elemento del grupo con esa propiedad (es decir, G tiene la propiedad de clase de conjugación infinita ), el centro de NG consta sólo de múltiplos complejos de la identidad.

NG es isomorfo al factor hiperfinito tipo II ₁ si y solo si G es contable , dócil y tiene la propiedad de clase de conjugación infinita.

Ver también

• Álgebra gráfica
• Álgebra de incidencia
• Álgebra de Hecke de un grupo localmente compacto
• Álgebra de caminos
• álgebra grupoide
• Álgebra de estereotipos
• Álgebra de grupos de estereotipos
• álgebra de hopf

Notas

Referencias

• Lang, S. (2002). Álgebra. Textos de Posgrado en Matemáticas. Saltador. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Vinberg, E. (10 de abril de 2003). Un curso de álgebra. Sociedad Matemática Estadounidense. doi :10.1090/gsm/056. ISBN 978-0-8218-3413-8.
• Dixmier, Jacques (1982). C*-álgebras. Holanda del Norte. ISBN 978-0-444-86391-1.
• Kirillov, Aleksandr A. (1976). Elementos de la Teoría de las Representaciones. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-66245-4.
• Loomis, Lynn H. (19 de julio de 2011). Introducción al análisis armónico abstracto (Libros de matemáticas de Dover) por Lynn H. Loomis (2011) Tapa blanda. Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-48123-4.
• AI Shtern (2001) [1994], "Álgebra de grupo de un grupo localmente compacto", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press Este artículo incorpora material del grupo $C^*$-álgebra en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .