En matemáticas , un álgebra topológica es un álgebra y al mismo tiempo un espacio topológico , donde las estructuras algebraica y topológica son coherentes en un sentido específico.
Definición
Un álgebra topológica sobre un campo topológico es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación bilineal
- ,
eso se convierte en un álgebra y es continuo en algún sentido definido. Normalmente la continuidad de la multiplicación se expresa mediante uno de los siguientes requisitos (no equivalentes):
- continuidad conjunta : para cada vecindad de cero hay vecindades de cero y tales que (en otras palabras, esta condición significa que la multiplicación es continua como un mapa entre espacios topológicos ), o
- continuidad del estereotipo : para cada conjunto totalmente acotado y para cada vecindad de cero hay una vecindad de cero tal que y , o
- continuidad separada : para cada elemento y para cada vecindad de cero existe una vecindad de cero tal que y .
(Ciertamente, la continuidad conjunta implica continuidad estereotipada y la continuidad estereotipada implica continuidad separada). En el primer caso se denomina " álgebra topológica con multiplicación conjunta continua ", y en el último, " con multiplicación continua por separado ".
Un álgebra topológica asociativa unital se denomina (a veces) anillo topológico .
Historia
El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).
Ejemplos
- 1. Las álgebras de Fréchet son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación conjunta continua.
- 2. Las álgebras de Banach son casos especiales de las álgebras de Fréchet .
- 3. Las álgebras estereotipadas son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua estereotipada.
Notas
enlaces externos
- Álgebra topológica en el n Lab
Referencias
- Beckenstein, E.; Narici, L.; Suffel, C. (1977). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080871356.
- Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID 115297067.
- Mallios, A. (1986). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080872353.
- Balachandran, VK (2000). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080543086.
- Fragoulopoulou, M. (2005). Álgebras topológicas con involución . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780444520258.