En matemáticas , un grupo localmente compacto es un grupo topológico G para el cual la topología subyacente es localmente compacta y de Hausdorff . Los grupos localmente compactos son importantes porque muchos ejemplos de grupos que surgen a lo largo de las matemáticas son localmente compactos y dichos grupos tienen una medida natural llamada medida de Haar . Esto permite definir integrales de funciones medibles de Borel en G de modo que se puedan generalizar nociones de análisis estándar como la transformada de Fourier y los espacios .
Muchos de los resultados de la teoría de representación de grupos finitos se prueban promediando sobre el grupo. Para grupos compactos, las modificaciones de estas pruebas arrojan resultados similares promediando con respecto a la integral de Haar normalizada . En el contexto localmente compacto general, tales técnicas no tienen por qué ser válidas. La teoría resultante es una parte central del análisis armónico . La teoría de representación para grupos abelianos localmente compactos se describe mediante la dualidad de Pontryagin .
Por homogeneidad, la compacidad local del espacio subyacente para un grupo topológico solo necesita comprobarse en la identidad. Es decir, un grupo G es un espacio localmente compacto si y solo si el elemento identidad tiene un entorno compacto . De ello se deduce que existe una base local de entornos compactos en cada punto.
Todo subgrupo cerrado de un grupo localmente compacto es localmente compacto. (La condición de clausura es necesaria como lo demuestra el grupo de racionales). A la inversa, todo subgrupo localmente compacto de un grupo de Hausdorff es cerrado. Todo cociente de un grupo localmente compacto es localmente compacto. El producto de una familia de grupos localmente compactos es localmente compacto si y solo si todos los factores, salvo un número finito, son realmente compactos.
Los grupos topológicos son siempre completamente regulares como espacios topológicos. Los grupos localmente compactos tienen la propiedad más fuerte de ser normales .
Todo grupo localmente compacto que sea numerable en primer lugar es metrizable como grupo topológico (es decir, se le puede dar una métrica invariante por la izquierda compatible con la topología) y completo . Si además el espacio es numerable en segundo lugar , se puede elegir que la métrica sea propia. (Véase el artículo sobre grupos topológicos ).
En un grupo polaco G , el σ-álgebra de conjuntos nulos de Haar satisface la condición de cadena contable si y solo si G es localmente compacto. [1]
Para cualquier grupo abeliano localmente compacto (LCA) A , el grupo de homomorfismos continuos
De A al grupo de círculos es nuevamente localmente compacto. La dualidad de Pontryagin afirma que este funtor induce una equivalencia de categorías.
Este funtor intercambia varias propiedades de los grupos topológicos. Por ejemplo, los grupos finitos corresponden a grupos finitos, los grupos compactos corresponden a grupos discretos y los grupos metrizables corresponden a uniones contables de grupos compactos (y viceversa en todas las afirmaciones).
Los grupos LCA forman una categoría exacta , siendo los monomorfismos admisibles subgrupos cerrados y los epimorfismos admisibles aplicaciones cocientes topológicas. Por lo tanto, es posible considerar el espectro de la K-teoría de esta categoría. Clausen (2017) ha demostrado que mide la diferencia entre la K-teoría algebraica de Z y R , los números enteros y los reales, respectivamente, en el sentido de que existe una secuencia de fibras de homotopía.
