Categoría exacta

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría exacta es una categoría dotada de secuencias exactas cortas . El concepto se debe a Daniel Quillen y está diseñado para encapsular las propiedades de secuencias exactas cortas en categorías abelianas sin requerir que los morfismos realmente posean núcleos y conúcleos , lo cual es necesario para la definición habitual de tal secuencia.

Definición

Una categoría exacta E es una categoría aditiva que posee una clase E de "secuencias exactas cortas": triples de objetos conectados por flechas.

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

satisfaciendo los siguientes axiomas inspirados en las propiedades de secuencias exactas cortas en una categoría abeliana :

• E está cerrado bajo isomorfismos y contiene las secuencias canónicas ("exactas divididas"):

${\displaystyle M'\to M'\oplus M''\to M'';}$

• Supóngase que ocurre como la segunda flecha de una secuencia en E (es un epimorfismo admisible ) y es cualquier flecha en E . Entonces existe su retroceso y su proyección a también es un epimorfismo admisible. Dualmente , si ocurre como la primera flecha de una secuencia en E (es un monomorfismo admisible ) y es cualquier flecha, entonces existe su expulsión y su coproyección desde también es un monomorfismo admisible. (Decimos que los epimorfismos admisibles son "estables bajo retroceso", respectivamente los monomorfismos admisibles son "estables bajo expulsión".); ${\displaystyle M\to M''}$ ${\displaystyle N\to M''}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M'\to M}$ ${\displaystyle M'\to N}$ ${\displaystyle N}$
• Los monomorfismos admisibles son núcleos de sus correspondientes epimorfismos admisibles, y dualmente. La composición de dos monomorfismos admisibles es admisible (igualmente los epimorfismos admisibles);
• Supóngase que es una función en E que admite un núcleo en E , y supóngase que es cualquier función tal que la composición es un epimorfismo admisible. Entonces también lo es Dualmente, si admite un co-núcleo y es tal que es un monomorfismo admisible, entonces también lo es ${\displaystyle M\to M''}$ ${\displaystyle N\to M}$ ${\displaystyle N\to M\to M''}$ ${\displaystyle M\to M''.}$ ${\displaystyle M'\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M'\to M\to N}$ ${\displaystyle M'\to M.}$

Los monomorfismos admisibles generalmente se denotan y los epimorfismos admisibles se denotan . Estos axiomas no son mínimos; de hecho, Bernhard Keller (1990) ha demostrado que el último es redundante. ${\displaystyle \rightarrowtail }$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow .}$

Se puede hablar de un funtor exacto entre categorías exactas exactamente como en el caso de los funtores exactos de categorías abelianas: un funtor exacto de una categoría exacta D a otra E es un funtor aditivo tal que si ${\displaystyle F}$

${\displaystyle M'\rightarrowtail M\twoheadrightarrow M''}$

es exacto en D , entonces

${\displaystyle F(M')\rightarrowtail F(M)\twoheadrightarrow F(M'')}$

es exacto en E . Si D es una subcategoría de E , es una subcategoría exacta si el funtor de inclusión es completamente fiel y exacto.

Motivación

Las categorías exactas surgen de las categorías abelianas de la siguiente manera. Supóngase que A es abeliana y sea E cualquier subcategoría estrictamente aditiva completa que esté cerrada bajo extensiones en el sentido de que dada una secuencia exacta

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

en A , entonces si están en E , entonces es . Podemos tomar la clase E simplemente como las sucesiones en E que son exactas en A ; es decir, ${\displaystyle M',M''}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

está en E iff

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

es exacta en A . Entonces E es una categoría exacta en el sentido anterior. Verificamos los axiomas:

• E está cerrado bajo isomorfismos y contiene las secuencias exactas divididas: estas son verdaderas por definición, ya que en una categoría abeliana, cualquier secuencia isomorfa a una exacta también es exacta, y dado que las secuencias divididas son siempre exactas en A.
• Los epimorfismos admisibles (respectivamente, monomorfismos admisibles) son estables bajo retrocesos (respectivamente, empujes): dada una secuencia exacta de objetos en E ,

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {f}}M\to M''\to 0,\ }$

y un mapa con en E , se verifica que la siguiente secuencia también es exacta; dado que E es estable bajo extensiones, esto significa que está en E : ${\displaystyle N\to M''}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times _{M''}N}$

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {(f,0)}}M\times _{M''}N\to N\to 0.\ }$

• Todo monomorfismo admisible es el núcleo de su epimorfismo admisible correspondiente, y viceversa: esto es cierto ya que los morfismos en A y E son una subcategoría completa.
• Si admite un núcleo en E y si es tal que es un epimorfismo admisible, entonces también lo es : Véase Quillen (1972). ${\displaystyle M\to M''}$ ${\displaystyle N\to M}$ ${\displaystyle N\to M\to M''}$ ${\displaystyle M\to M''}$

Por el contrario, si E es cualquier categoría exacta, podemos tomar A como la categoría de funtores exactos por la izquierda de E en la categoría de grupos abelianos , que es en sí misma abeliana y en la que E es una subcategoría natural (a través de la incrustación de Yoneda , ya que Hom es exacto por la izquierda), estable bajo extensiones, y en la que una secuencia está en E si y solo si es exacta en A.

Ejemplos

• Cualquier categoría abeliana es exacta en el sentido obvio, según la construcción de #Motivación.
• Un ejemplo menos trivial es la categoría Ab _tf de los grupos abelianos libres de torsión , que es una subcategoría estrictamente completa de la categoría (abeliana) Ab de todos los grupos abelianos. Está cerrada bajo extensiones: si

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

es una secuencia exacta corta de grupos abelianos en los que están libres de torsión, entonces se ve que está libre de torsión por el siguiente argumento: si es un elemento de torsión, entonces su imagen en es cero, ya que está libre de torsión. Por lo tanto, se encuentra en el núcleo de la función en , que es , pero que también está libre de torsión, por lo que . Por la construcción de #Motivation, Ab _tf es una categoría exacta; algunos ejemplos de secuencias exactas en ella son: ${\displaystyle A,C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}}\right)}}\mathbb {Z} ^{2}{\xrightarrow {(-2,1)}}\mathbb {Z} \to 0,}$

${\displaystyle 0\to d\Omega ^{0}(S^{1})\to \Omega _{c}^{1}(S^{1})\to H_{\text{dR}}^{1}(S^{1})\to 0,}$

donde el último ejemplo está inspirado en la cohomología de De Rham ( y son las formas diferenciales cerradas y exactas en el grupo del círculo ); en particular, se sabe que el grupo de cohomología es isomorfo a los números reales. Esta categoría no es abeliana. ${\displaystyle \Omega _{c}^{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle d\Omega ^{0}(S^{1})}$

• El siguiente ejemplo es en cierto sentido complementario al anterior. Sea Ab _t la categoría de los grupos abelianos con torsión (y también el grupo cero). Esto es aditivo y nuevamente una subcategoría estrictamente completa de Ab . Es aún más fácil ver que es estable bajo extensiones: si

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

es una sucesión exacta en la que si hay torsión, entonces naturalmente tiene todos los elementos de torsión de . Por lo tanto, es una categoría exacta. ${\displaystyle A,C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Referencias

• Keller, Bernhard (1990). "Complejos de cadenas y categorías estables". Manuscripta Mathematica . 67 : 379–417. CiteSeerX  10.1.1.146.3555 . doi :10.1007/BF02568439. S2CID  6945014. Apéndice A. Categorías exactas

• Quillen, Daniel (1972). Teoría K algebraica superior I. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 341. Springer. Págs. 85-147. doi :10.1007/BFb0067053. ISBN. 978-3-540-06434-3.