Retroceso (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un retroceso (también llamado producto de fibra , producto de fibra , producto de fibra o cuadrado cartesiano ) es el límite de un diagrama que consta de dos morfismos $f : X \to Z$ y $g : Y \to Z$ con un codominio común. El retroceso está escrito.

PAG = X \times F, Z, gramo Y

Por lo general, los morfismos $f$ y $g$ se omiten de la notación y luego se escribe el retroceso

P = X \times Z Y

El retroceso viene equipado con dos morfismos naturales $P \to X$ y $P \to Y.$ No es necesario que exista el retroceso de dos morfismos $f$ y $g$ , pero si existe, está esencialmente definido de forma única por los dos morfismos. En muchas situaciones, se puede pensar intuitivamente que $X \times Z Y$ $está formado por pares de elementos (x, y)$ con $x$ en $X$ , $y$ en $Y$ y $f (x) = g (y)$ . Para la definición general, se utiliza una propiedad universal , que esencialmente expresa el hecho de que el retroceso es la forma "más general" de completar los dos morfismos dados en un cuadrado conmutativo .

El concepto dual del retroceso es el de expulsión .

propiedad universal

Explícitamente, un retroceso de los morfismos $f$ y $g$ consta de un objeto $P$ y dos morfismos $p 1 : P \to X$ y $p 2 : P \to Y$ para los cuales el diagrama

viaja . Además, el retroceso $(P, p 1, p 2)$ debe ser universal con respecto a este diagrama. ^[1] Es decir, para cualquier otro triplete $(Q, q 1, q 2)$ donde $q 1 : Q \to X$ y $q 2 : Q \to Y$ son morfismos con $f q 1 = g q 2$ , debe existir un único $u : Q \to P$ tal que

p_{1}\circ u=q_{1},\qquad p_{2}\circ u=q_{2}.

Esta situación se ilustra en el siguiente diagrama conmutativo.

Como ocurre con todas las construcciones universales, un retroceso, si existe, es único hasta el isomorfismo . De hecho, dados dos retrocesos $(A, a 1, a 2)$ y $(B, b 1, b 2)$ del mismo cospan $X \to Z \leftarrow Y$ , existe un isomorfismo único entre $A$ y $B$ respetando la estructura de retroceso.

Retroceso y producto

El retroceso es similar al del producto , pero no igual. Se puede obtener el producto "olvidando" que existen los morfismos $f$ y $g$ , y olvidando que el objeto $Z$ existe. Entonces nos queda una categoría discreta que contiene sólo los dos objetos $X$ e $Y$ , y no hay flechas entre ellos. Esta categoría discreta se puede utilizar como conjunto de índices para construir el producto binario ordinario. Por lo tanto, el retroceso puede considerarse como el producto ordinario (cartesiano), pero con una estructura adicional. En lugar de "olvidar" $Z$ , $f$ y $g$ , también se pueden "trivializar" especializando $Z$ para que sea el objeto terminal (suponiendo que exista). Entonces , $f$ y $g$ están determinados de forma única y, por lo tanto, no contienen información, y se puede ver que el retroceso de este cospan es el producto de $X$ e $Y.$

Ejemplos

Anillos conmutativos

En la categoría de anillos conmutativos (con identidad), el retroceso se denomina producto fibroso. Sean $A$ , $B$ y $C$ anillos conmutativos (con identidad) y homomorfismos de anillo $α : A \to C$ y $β : B \to C$ (que preservan la identidad) . Entonces el retroceso de este diagrama existe y está dado por el subanillo del anillo producto $A$ $\times$ $B$ definido por

A\times _{C}B=\left\{(a,b)\in A\times B\;{\big |}\;\alpha (a)=\beta (b)\right\}

junto con los morfismos

\beta '\colon A\times _{C}B\to A,\qquad \alpha '\colon A\times _{C}B\to B

dado por y para todos . entonces tenemos $\beta '(a,b)=a$ $\alpha '(a,b)=b$ $(a,b)\in A\times _{C}B$

\alpha \circ \beta '=\beta \circ \alpha '.

Grupos y módulos

En completa analogía con el ejemplo de anillos conmutativos anterior, se puede mostrar que todos los retrocesos existen en la categoría de grupos y en la categoría de módulos sobre algún anillo fijo.

Conjuntos

En la categoría de conjuntos , el retroceso de las funciones $f : X \to Z$ y $g : Y \to Z$ siempre existe y está dado por el conjunto

X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}=\bigcup _{z\in f(X)\cap g(Y)}f^{-1}[\{z\}]\times g^{-1}[\{z\}],

junto con las restricciones de los mapas de proyección $π 1$ y $π 2$ a $X \times Z Y$ .

Alternativamente, se puede ver el retroceso en $Conjunto$ asimétricamente:

X\times _{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}]

¿Dónde está la unión disjunta de conjuntos (los conjuntos involucrados no son disjuntos por sí solos a menos que $f$ resp. $g$ sea inyectivo )? En el primer caso, la proyección $π$ $1$ extrae el índice $x mientras que$ $π$ $2$ olvida el índice, dejando elementos de $Y$ . $\coprod$

Este ejemplo motiva otra forma de caracterizar el retroceso: como el ecualizador de los morfismos $f \circ p 1, g \circ p 2 : X \times Y \to Z$ donde $X \times Y$ es el producto binario de $X$ e $Y$ y $p 1$ y $p 2$ son las proyecciones naturales. Esto muestra que existen retrocesos en cualquier categoría con productos binarios y ecualizadores. De hecho, según el teorema de existencia de límites , todos los límites finitos existen en una categoría con productos binarios y ecualizadores; de manera equivalente, todos los límites finitos existen en una categoría con objeto terminal y retrocesos (por el hecho de que producto binario = retroceso en el objeto terminal, y que un ecualizador es un retroceso que involucra producto binario).

Gráficas de funciones

Un ejemplo específico de retroceso lo da la gráfica de una función. Supongamos que es una función. La gráfica de $f$ es el conjunto $f\colon X\to Y$

\Gamma _{f}=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y.

f

Y.

X\times _{f,Y,1_{Y}}Y=\{(x,y)\colon f(x)=1_{Y}(y)\}=\{(x,y)\colon f(x)=y\}\subseteq X\times Y,

\Gamma _{f}

haces de fibras

Otro ejemplo de retroceso proviene de la teoría de los haces de fibras : dado un mapa de haces $π : E \to B$ y un mapa continuo $f : X \to B$ , el retroceso (formado en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos ) $X \times B E$ es un haz de fibras sobre $X$ llamado haz de retroceso . El diagrama conmutativo asociado es un morfismo de haces de fibras. Este también es el caso en la categoría de variedades diferenciables. Un caso especial es el retroceso de dos haces de fibras $E 1, E 2 \to B$ . En este caso, $E 1 \times E 2$ es un haz de fibras sobre $B \times B$ , y al retroceder a lo largo del mapa diagonal $B \to B \times B$ se obtiene un espacio homeomorfo (diffeomorfo) a $E 1 \times B E 2$ , que es un haz de fibras sobre $B$ . El retroceso de dos mapas transversales suaves hacia la misma variedad diferenciable también es una variedad diferenciable, y el espacio tangente del retroceso es el retroceso de los espacios tangentes a lo largo de los mapas diferenciales.

Preimágenes e intersecciones

Las preimágenes de conjuntos bajo funciones se pueden describir como retrocesos de la siguiente manera:

Supongamos $f : A \to B$ , $B 0 \subseteq B$ . Sea $g$ el mapa de inclusión $B 0 ↪ B$ . Entonces, un retroceso de $f$ y $g$ (en $Set$ ) viene dado por la preimagen $f -1 [B 0]$ junto con la inclusión de la preimagen en $A$

f -1 [B 0] ↪ UN

y la restricción de $f$ a $f -1 [B 0]$

f -1 [segundo 0] \to segundo 0

Debido a este ejemplo, en una categoría general, el retroceso de un morfismo $f$ y un monomorfismo $g$ puede considerarse como la "preimagen" bajo $f$ del subobjeto especificado por $g$ . De manera similar, los retrocesos de dos monomorfismos pueden considerarse como la "intersección" de los dos subobjetos.

Minimo común multiplo

Considere el monoide multiplicativo de números enteros positivos $Z +$ como una categoría con un objeto. En esta categoría, el retroceso de dos enteros positivos $m$ y $n$ es solo el par , donde los numeradores son ambos el mínimo común múltiplo de $m$ y $n$ . La misma pareja también es la expulsión. $\left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)$

Propiedades

En cualquier categoría con un objeto terminal $T$ , el retroceso $X \times T Y$ es simplemente el producto ordinario $X \times Y$ . ^[2]
Los monomorfismos son estables bajo retroceso: si la flecha $f$ en el diagrama es mónica, entonces también lo es la flecha $p 2$ . De manera similar, si $g$ es mónico, entonces también lo es $p 1$ . ^[3]
Los isomorfismos también son estables y, por tanto, por ejemplo, $X \times X Y ≅ Y$ para cualquier mapa $Y \to X$ (donde el mapa implícito $X \to X$ es la identidad).
En una categoría abeliana todos los retrocesos existen, ^[4] y preservan los núcleos , en el siguiente sentido: si

es un diagrama de retroceso, entonces el morfismo inducido

ker(p 2) \to ker(f)

es un isomorfismo, ^[5] y también lo es el morfismo inducido

ker(p 1) \to ker(g)

. Por lo tanto, cada diagrama de retroceso da lugar a un diagrama conmutativo de la siguiente forma, donde todas las filas y columnas son exactas :

{\begin{array}{ccccccc}&&&&0&&0\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\&&&&L&=&L\\&&&&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &P&\rightarrow &Y\\&&\parallel &&\downarrow &&\downarrow \\0&\rightarrow &K&\rightarrow &X&\rightarrow &Z\end{array}}

Además, en una categoría abeliana, si

X \to Z

es un epimorfismo, entonces también lo es su retroceso

P \to Y

, y simétricamente: si Y

\to Z es

un epimorfismo, entonces también lo es su retroceso

P \to X.

^[6] En estas situaciones, la casilla de retroceso también es una casilla de expulsión. ^[7]

Existe un isomorfismo natural ( A × _C B ) × _B D ≅ A × _C D . Explícitamente, esto significa:
- si los mapas f : A → C , g : B → C y h : D → B están dados y
- el retroceso de f y g viene dado por r : P → A y s : P → B , y
- el retroceso de s y h está dado por t : Q → P y u : Q → D ,
- entonces el retroceso de f y gh viene dado por rt : Q → A y u : Q → D .

Gráficamente, esto significa que dos cuadrados de retroceso, colocados uno al lado del otro y que comparten un morfismo, forman un cuadrado de retroceso más grande al ignorar el morfismo compartido interno.

{\begin{array}{ccccc}Q&{\xrightarrow {t}}&P&{\xrightarrow {r}}&A\\\downarrow _{u}&&\downarrow _{s}&&\downarrow _{f}\\D&{\xrightarrow {h}}&B&{\xrightarrow {g}}&C\end{array}}

Cualquier categoría con retrocesos y productos tiene ecualizadores.

Retrocesos débiles

Un retroceso débil de un cospan $X \to Z \leftarrow Y$ es un cono sobre el cospan que es solo débilmente universal, es decir, no se requiere que el morfismo mediador $u : Q \to P$ anterior sea único.

Ver también

Notas

^ Mitchell, pág. 9
^ Adámek, pag. 197.
^ Mitchell, pág. 9
^ Mitchell, pág. 32
^ Mitchell, pág. 15
^ Mitchell, pág. 34
^ Mitchell, pág. 39

Referencias

Adámek, Jiří, Herrlich, Horst y Strecker, George E.; (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF de 4,2 MB). Originalmente público. John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6 . (ahora edición gratuita en línea).
Cohn, Paul M .; Universal Algebra (1981), D. Reidel Publishing, Holanda, ISBN 90-277-1213-1 (Publicado originalmente en 1965, por Harper & Row) .
Mitchell, Barry (1965). Teoría de Categorías . Prensa académica.

enlaces externos

Página web interactiva que genera ejemplos de pullbacks en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine.
retroceso en el laboratorio n