En matemáticas , un producto de anillos o producto directo de anillos es un anillo que se forma mediante el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes de varios anillos (posiblemente un infinito), dotado de operaciones de componentes . Es un producto directo de la categoría de anillos .
Como los productos directos se definen hasta un isomorfismo , se dice coloquialmente que un anillo es el producto de algunos anillos si es isomorfo al producto directo de estos anillos. Por ejemplo, el teorema del resto chino puede enunciarse como: si m y n son números enteros coprimos , el anillo cociente es el producto de y
Un ejemplo importante es Z / n Z , el anillo de números enteros módulo n . Si n se escribe como un producto de potencias primos (véase Teorema fundamental de la aritmética ),
donde los p i son primos distintos , entonces Z / n Z es naturalmente isomorfo al producto
Esto se desprende del teorema del resto chino .
Si R = Π i ∈ I R i es un producto de anillos, entonces para cada i en I tenemos un homomorfismo de anillos sobreyectivo p i : R → R i que proyecta el producto sobre la i ésima coordenada. El producto R junto con las proyecciones p i tiene la siguiente propiedad universal :
Esto demuestra que el producto de anillos es una instancia de productos en el sentido de la teoría de categorías .
Cuando I es finito, el grupo aditivo subyacente de Π i ∈ I R i coincide con la suma directa de los grupos aditivos de los R i . En este caso, algunos autores llaman a R la "suma directa de los anillos R i " y escriben ⊕ i ∈ I R i , pero esto es incorrecto desde el punto de vista de la teoría de categorías , ya que normalmente no es un coproducto en la categoría de anillos (con identidad): por ejemplo, cuando dos o más de los R i son no triviales , la función de inclusión R i → R no logra mapear 1 a 1 y, por lo tanto, no es un homomorfismo de anillos.
(Un coproducto finito en la categoría de álgebras conmutativas sobre un anillo conmutativo es un producto tensorial de álgebras . Un coproducto en la categoría de álgebras es un producto libre de álgebras .)
Los productos directos son conmutativos y asociativos hasta el isomorfismo natural, lo que significa que no importa en qué orden se forme el producto directo.
Si A i es un ideal de R i para cada i en I , entonces A = Π i ∈ I A i es un ideal de R . Si I es finito, entonces la recíproca es verdadera, es decir, cada ideal de R es de esta forma. Sin embargo, si I es infinito y los anillos R i no son triviales, entonces la recíproca es falsa: el conjunto de elementos con todas las coordenadas distintas de cero, excepto un número finito, forma un ideal que no es un producto directo de ideales de R i . El ideal A es un ideal primo en R si todos menos uno de los A i son iguales a R i y el A i restante es un ideal primo en R i . Sin embargo, la recíproca no es verdadera cuando I es infinito. Por ejemplo, la suma directa de los R i forma un ideal no contenido en ningún A de ese tipo , pero el axioma de elección da que está contenido en algún ideal maximal que es primo a fortiori .
Un elemento x en R es una unidad si y sólo si todos sus componentes son unidades, es decir, si y sólo si p i ( x ) es una unidad en R i para todo i en I . El grupo de unidades de R es el producto de los grupos de unidades de R i .
Un producto de dos o más anillos no triviales siempre tiene divisores de cero distintos de cero : si x es un elemento del producto cuyas coordenadas son todas cero excepto p i ( x ) e y es un elemento del producto con todas las coordenadas cero excepto p j ( y ) donde i ≠ j , entonces xy = 0 en el anillo de producto.
