En el contexto del álgebra abstracta o álgebra universal , un monomorfismo es un homomorfismo inyectivo . Un monomorfismo de X a Y a menudo se denota con la notación .
En el marco más general de la teoría de categorías , un monomorfismo (también llamado morfismo mónico o mono ) es un morfismo cancelativo por la izquierda . Es decir, una flecha f : X → Y tal que para todos los objetos Z y todos los morfismos g 1 , g 2 : Z → X ,
Los monomorfismos son una generalización categórica de funciones inyectivas (también llamadas "funciones uno a uno"); en algunas categorías las nociones coinciden, pero los monomorfismos son más generales, como en los ejemplos siguientes.
En el contexto de los posets, las intersecciones son idempotentes : la intersección de cualquier cosa consigo misma es ella misma. Los monomorfismos generalizan esta propiedad a categorías arbitrarias. Un morfismo es un monomorfismo si es idempotente con respecto a los retrocesos .
El dual categórico de un monomorfismo es un epimorfismo , es decir, un monomorfismo en una categoría C es un epimorfismo en la categoría dual C op . Cada sección es un monomorfismo y cada retracción es un epimorfismo.
Los morfismos invertibles a la izquierda son necesariamente mónicos: si l es un inverso izquierdo de f (lo que significa que l es un morfismo y ), entonces f es mónico, como
Un morfismo invertible a la izquierda se llama mono dividido o sección .
Sin embargo, un monomorfismo no tiene por qué ser invertible a la izquierda. Por ejemplo, en la categoría Grupo de todos los grupos y homomorfismos de grupo entre ellos, si H es un subgrupo de G entonces la inclusión f : H → G es siempre un monomorfismo; pero f tiene inversa izquierda en la categoría si y sólo si H tiene complemento normal en G.
Un morfismo f : X → Y es mónico si y solo si el mapa inducido f ∗ : Hom( Z , X ) → Hom( Z , Y ) , definido por f ∗ ( h ) = f ∘ h para todos los morfismos h : Z → X , es inyectivo para todos los objetos Z .
Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es inyectiva es un monomorfismo; en otras palabras, si los morfismos son en realidad funciones entre conjuntos, entonces cualquier morfismo que sea una función uno a uno será necesariamente un monomorfismo en el sentido categórico. En la categoría de conjuntos también se cumple lo contrario, por lo que los monomorfismos son exactamente los morfismos inyectivos . Lo contrario también se cumple en la mayoría de las categorías de álgebras naturales debido a la existencia de un objeto libre en un generador. En particular, es cierto en las categorías de todos los grupos, de todos los anillos y en cualquier categoría abeliana .
Sin embargo, no es cierto en general que todos los monomorfismos deban ser inyectivos en otras categorías; es decir, hay entornos en los que los morfismos son funciones entre conjuntos, pero se puede tener una función que no sea inyectiva y, sin embargo, sea un monomorfismo en el sentido categórico. Por ejemplo, en la categoría Div de grupos divisibles (abelianos) y homomorfismos de grupo entre ellos hay monomorfismos que no son inyectivos: considere, por ejemplo, el mapa de cocientes q : Q → Q / Z , donde Q son los racionales bajo suma, Z los números enteros (también considerados un grupo bajo la suma), y Q / Z es el grupo cociente correspondiente . Este no es un mapa inyectivo, como por ejemplo cada número entero se asigna a 0. Sin embargo, es un monomorfismo en esta categoría. Esto se desprende de la implicación q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , que ahora demostraremos. Si h : G → Q , donde G es algún grupo divisible, y q ∘ h = 0 , entonces h ( x ) ∈ Z , ∀ x ∈ G . Ahora arregle algo de x ∈ G . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que h ( x ) ≥ 0 (de lo contrario, elija − x en su lugar). Entonces, considerando n = h ( x ) + 1 , dado que G es un grupo divisible, existe algún y ∈ G tal que x = ny , entonces h ( x ) = n h ( y ) . De esto, y 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n , se deduce que
Dado que h ( y ) ∈ Z , se deduce que h ( y ) = 0 , y por tanto h ( x ) = 0 = h ( − x ), ∀ x ∈ G . Esto dice que h = 0 , como se desea.
Para pasar de esa implicación al hecho de que q es un monomorfismo, supongamos que q ∘ f = q ∘ g para algunos morfismos f , g : G → Q , donde G es algún grupo divisible. Entonces q ∘ ( f − g ) = 0 , donde ( f − g ) : x ↦ f ( x ) − g ( x ) . (Dado que ( f − g )(0) = 0 , y ( f − g )( x + y ) = ( f − g )( x ) + ( f − g )( y ) , se deduce que ( f − g ) ∈ Hom( G , Q ) ). De la implicación recién demostrada, q ∘ ( f − g ) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) = g ( x ) ⇔ f = g . Por tanto, q es un monomorfismo, como se afirma.
También existen conceptos útiles de monomorfismo regular , monomorfismo extremo , monomorfismo inmediato , monomorfismo fuerte y monomorfismo dividido .
Los términos acompañantes monomorfismo y epimorfismo fueron introducidos originalmente por Nicolas Bourbaki ; Bourbaki utiliza el monomorfismo como abreviatura de una función inyectiva. Los primeros teóricos de las categorías creían que la generalización correcta de la inyectividad al contexto de las categorías era la propiedad de cancelación dada anteriormente. Si bien esto no es exactamente cierto para los mapas mónicos, está muy cerca, por lo que ha causado pocos problemas, a diferencia del caso de los epimorfismos. Saunders Mac Lane intentó hacer una distinción entre lo que llamó monomorfismos , que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas subyacentes de conjuntos eran inyectivos, y mapas mónicos , que son monomorfismos en el sentido categórico de la palabra. Esta distinción nunca llegó a ser de uso general.
Otro nombre para el monomorfismo es extensión , aunque también tiene otros usos.
