Descomposición nodal

Descomposición nodal.

En la teoría de categorías , una disciplina matemática abstracta, una descomposición nodal ^[1] de un morfismo es una representación de como un producto , donde es un epimorfismo fuerte , ^{[2] [3] [4]} un bimorfismo y un monomorfismo fuerte . ^{[5] [3] [4]} ${\displaystyle \varphi :X\to Y}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \sigma }$

Unicidad y notaciones

Unicidad de la descomposición nodal.

Si existe, la descomposición nodal es única hasta un isomorfismo en el siguiente sentido: para cualesquiera dos descomposiciones nodales y existen isomorfismos y tales que ${\displaystyle \varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi }$ ${\displaystyle \varphi =\sigma '\circ \beta '\circ \pi '}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \pi '=\eta \circ \pi ,}$

${\displaystyle \beta =\theta \circ \beta '\circ \eta ,}$

${\displaystyle \sigma '=\sigma \circ \theta .}$

Notaciones.

Esta propiedad justifica algunas notaciones especiales para los elementos de la descomposición nodal:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\pi =\operatorname {coim} _{\infty }\varphi ,&&P=\operatorname {Coim} _{\infty }\varphi ,\\&\beta =\operatorname {red} _{\infty }\varphi ,&&\\&\sigma =\operatorname {im} _{\infty }\varphi ,&&Q=\operatorname {Im} _{\infty }\varphi ,\end{aligned}}}$

– aquí y se denominan la coimagen nodal de , y la imagen nodal de , y la parte reducida nodal de . ${\displaystyle \operatorname {coim} _{\infty }\varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Coim} _{\infty }\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {im} _{\infty }\varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} _{\infty }\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {red} _{\infty }\varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

En estas notaciones la descomposición nodal toma la forma

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \operatorname {coim} _{\infty }\varphi .}$

Conexión con la descomposición básica en categorías pre-abelianas

En una categoría pre-abeliana cada morfismo tiene una descomposición estándar ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi }$,

llamada descomposición básica (aquí , , y son respectivamente la imagen, la coimagen y la parte reducida del morfismo ). ${\displaystyle \operatorname {im} \varphi =\ker(\operatorname {coker} \varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} \varphi =\operatorname {coker} (\ker \varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {red} \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Descomposiciones nodales y básicas.

Si un morfismo en una categoría pre-abeliana tiene una descomposición nodal, entonces existen morfismos y que (no siendo necesariamente isomorfismos) conectan la descomposición nodal con la descomposición básica mediante las siguientes identidades: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \operatorname {coim} _{\infty }\varphi =\eta \circ \operatorname {coim} \varphi ,}$

${\displaystyle \operatorname {red} \varphi =\theta \circ \operatorname {red} _{\infty }\varphi \circ \eta ,}$

${\displaystyle \operatorname {im} _{\infty }\varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \theta .}$

Categorías con descomposición nodal

Una categoría se denomina categoría con descomposición nodal ^[1] si cada morfismo tiene una descomposición nodal en . Esta propiedad desempeña un papel importante en la construcción de envolventes y refinamientos en . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

En una categoría abeliana la descomposición básica ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

${\displaystyle \varphi =\operatorname {im} \varphi \circ \operatorname {red} \varphi \circ \operatorname {coim} \varphi }$

es siempre nodal. Como corolario, todas las categorías abelianas tienen descomposición nodal .

Si una categoría pre-abeliana es linealmente completa, ^[6] bien potenciada en monomorfismos fuertes ^[7] y co-bien potenciada en epimorfismos fuertes, ^[8] entonces tiene descomposición nodal. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

De manera más general, supongamos que una categoría es linealmente completa, ^[6] bien potenciada en monomorfismos fuertes, ^[7] co-bien potenciada en epimorfismos fuertes, ^[8] y además los epimorfismos fuertes disciernen monomorfismos ^[10] en , y, dualmente, los monomorfismos fuertes disciernen epimorfismos ^[11] en , entonces tiene descomposición nodal. ^[12] ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

La categoría Ste de espacios estereotípicos (al no ser abeliana) tiene descomposición nodal, ^[13] así como la categoría (no aditiva ) SteAlg de álgebras estereotípicas . ^[14]

Notas

1. Akbarov 2016, pág. 28.
2. Se dice que un epimorfismo es fuerte , si para cualquier monomorfismo y para cualquier morfismos y tales que existe un morfismo tal que y . ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \mu :C\to D}$ ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ ${\displaystyle \beta :B\to D}$ ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ ${\displaystyle \delta :B\to C}$ ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$

3. Borceux 1994.
4. Tsalenko y Shulgeifer 1974.
5. Se dice que un monomorfismo es fuerte , si para cualquier epimorfismo y para cualquier morfismos y tales que existe un morfismo , tal que y ${\displaystyle \mu :C\to D}$ ${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$ ${\displaystyle \alpha :A\to C}$ ${\displaystyle \beta :B\to D}$ ${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$ ${\displaystyle \delta :B\to C}$ ${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$ ${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$
6. una categoría es linealmente completa si cualquier funtor de un conjunto ordenado linealmente en tiene límites directos e inversos . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$
7. una categoría está bien potenciada en monomorfismos fuertes si, para cada objeto, la categoría de todos los monomorfismos fuertes en es esqueléticamente pequeña (es decir, tiene un esqueleto que es un conjunto). ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SMono} (X)}$ ${\displaystyle X}$
8. una categoría es co-bien potenciada en epimorfismos fuertes , si para cada objeto la categoría de todos los epimorfismos fuertes de es esqueléticamente pequeña (es decir, tiene un esqueleto que es un conjunto). ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SEpi} (X)}$ ${\displaystyle X}$
9. Akbarov 2016, pág. 37.
10. Se dice que los epimorfismos fuertes disciernen monomorfismos en una categoría , si cada morfismo , que no es un monomorfismo, puede representarse como una composición , donde es un epimorfismo fuerte que no es un isomorfismo. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$
11. Se dice que los monomorfismos fuertes disciernen epimorfismos en una categoría , si cada morfismo , que no es un epimorfismo, puede representarse como una composición , donde es un monomorfismo fuerte que no es un isomorfismo. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =\mu \circ \varepsilon '}$ ${\displaystyle \mu }$
12. Akbarov 2016, pág. 31.
13. Akbarov 2016, pág. 142.
14. Akbarov 2016, pág. 164.

Referencias

• Borceux, F. (1994). Manual de álgebra categórica 1. Teoría básica de categorías . Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
• Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fundamentos de la teoría de categorías . Nauka.
• Akbarov, SS (2016). "Envolventes y refinamientos en categorías, con aplicaciones al análisis funcional". Dissertationes Mathematicae . 513 : 1–188. arXiv : 1110.2013 . doi :10.4064/dm702-12-2015. S2CID  118895911.