Complemento (teoría de grupos)

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de grupos , un complemento de un subgrupo H en un grupo G es un subgrupo K de G tal que

${\displaystyle G=HK=\{hk:h\in H,k\in K\}{\text{ and }}H\cap K=\{e\}.}$

De manera equivalente, cada elemento de G tiene una expresión única como producto hk donde h ∈ H y k ∈ K . Esta relación es simétrica: si K es un complemento de H , entonces H es un complemento de K . Ni H ni K necesitan ser un subgrupo normal de G .

Propiedades

• Los complementos no tienen por qué existir y, si existen, no tienen por qué ser únicos. Es decir, H podría tener dos complementos distintos K ₁ y K ₂ en G .
• Si hay varios complementos de un subgrupo normal, entonces son necesariamente isomorfos entre sí y con el grupo cociente .
• Si K es un complemento de H en G entonces K forma tanto una transversal izquierda como una transversal derecha de H . Es decir, los elementos de K forman un conjunto completo de representantes de las clases laterales izquierda y derecha de H .
• El teorema de Schur-Zassenhaus garantiza la existencia de complementos de subgrupos de Hall normales de grupos finitos .

Relación con otros productos

Los complementos generalizan tanto el producto directo (donde los subgrupos H y K son normales en G ), como el producto semidirecto (donde uno de H o K es normal en G ). El producto correspondiente a un complemento general se denomina producto interno de Zappa-Szép . Cuando H y K no son triviales , los subgrupos complementarios factorizan un grupo en partes más pequeñas.

Existencia

Como se mencionó anteriormente, los complementos no necesitan existir.

Un p -complemento es un complemento de un p -subgrupo de Sylow . Los teoremas de Frobenius y Thompson describen cuándo un grupo tiene un p -complemento normal . Philip Hall caracterizó a los grupos finitos solubles entre grupos finitos como aquellos con p -complementos para cada primo p ; estos p -complementos se utilizan para formar lo que se denomina un sistema de Sylow .

Un complemento de Frobenius es un tipo especial de complemento en un grupo de Frobenius .

Un grupo complementado es aquel en el que cada subgrupo tiene un complemento.

Véase también

• Producto de subconjuntos de un grupo

Referencias

• David S. Dummit y Richard M. Foote (2003). Álgebra abstracta . Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
• I. Martin Isaacs (2008). Teoría de grupos finitos . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0-8218-4344-4.