En lógica matemática , una subestructura ( inducida ) o subálgebra ( inducida ) es una estructura cuyo dominio es un subconjunto del de una estructura mayor, y cuyas funciones y relaciones están restringidas al dominio de la subestructura. Algunos ejemplos de subálgebras son subgrupos , submonoides , subarillos , subcampos , subálgebras de álgebras sobre un campo o subgrafos inducidos . Cambiando de punto de vista, la estructura más grande se llama extensión o superestructura de su subestructura.
En teoría de modelos , el término " submodelo " suele utilizarse como sinónimo de subestructura, especialmente cuando el contexto sugiere una teoría de la cual ambas estructuras son modelos.
En presencia de relaciones (es decir, para estructuras como grupos ordenados o grafos , cuya firma no es funcional) puede tener sentido relajar las condiciones en una subálgebra de modo que las relaciones en una subestructura débil (o subálgebra débil ) sean como máximo aquellas inducido desde la estructura más grande. Los subgrafos son un ejemplo en el que la distinción importa, y el término "subgrafos" de hecho se refiere a subestructuras débiles. Los grupos ordenados , por otro lado, tienen la propiedad especial de que cada subestructura de un grupo ordenado, que es en sí mismo un grupo ordenado, es una subestructura inducida.
Dadas dos estructuras A y B de la misma firma σ, se dice que A es una subestructura débil de B , o una subálgebra débil de B , si
Se dice que A es una subestructura de B , o una subálgebra de B , si A es una subálgebra débil de B y, además,
Si A es una subestructura de B , entonces B se llama superestructura de A o, especialmente si A es una subestructura inducida, una extensión de A.
En el lenguaje que consta de las funciones binarias + y ×, la relación binaria < y las constantes 0 y 1, la estructura ( Q , +, ×, <, 0, 1) es una subestructura de ( R , +, ×, <, 0, 1). De manera más general, las subestructuras de un campo ordenado (o simplemente de un campo ) son precisamente sus subcampos. De manera similar, en el lenguaje (×, −1 , 1) de grupos, las subestructuras de un grupo son sus subgrupos . En el lenguaje (×, 1) de los monoides, sin embargo, las subestructuras de un grupo son sus submonoides . No es necesario que sean grupos; e incluso si son grupos, no necesitan ser subgrupos.
En el caso de los grafos (en la firma que consta de una relación binaria), los subgrafos y sus subestructuras débiles son precisamente sus subgrafos.
Para cada firma σ, las subestructuras inducidas de σ-estructuras son los subobjetos en la categoría concreta de σ-estructuras y homomorfismos fuertes (y también en la categoría concreta de σ-estructuras y σ- incrustaciones ). Las subestructuras débiles de las estructuras σ son los subobjetos en la categoría concreta de estructuras σ y homomorfismos en el sentido ordinario.
En la teoría de modelos , dada una estructura M que es un modelo de una teoría T , un submodelo de M en un sentido más estricto es una subestructura de M que también es un modelo de T. Por ejemplo, si T es la teoría de grupos abelianos en la firma (+, 0), entonces los submodelos del grupo de números enteros ( Z , +, 0) son las subestructuras que también son grupos abelianos. Así, los números naturales ( N , +, 0) forman una subestructura de ( Z , +, 0) que no es un submodelo, mientras que los números pares (2 Z , +, 0) forman un submodelo.
Otros ejemplos:
En la categoría de modelos de una teoría y las incrustaciones entre ellos, los submodelos de un modelo son sus subobjetos .
