En la teoría de categorías y sus aplicaciones a otras ramas de las matemáticas , los núcleos son una generalización de los núcleos de homomorfismos de grupos , los núcleos de homomorfismos de módulos y algunos otros núcleos del álgebra . Intuitivamente, el núcleo del morfismo f : X → Y es el morfismo "más general" k : K → X que produce cero cuando se compone con (seguido de) f .
Tenga en cuenta que los pares de núcleos y los núcleos de diferencia (también conocidos como ecualizadores binarios ) a veces reciben el nombre de "núcleo"; si bien están relacionados, no son exactamente lo mismo y no se analizan en este artículo.
Sea C una categoría . Para definir un núcleo en el sentido general de la teoría de categorías, C debe tener morfismos cero . En ese caso, si f : X → Y es un morfismo arbitrario en C , entonces un núcleo de f es un ecualizador de f y el morfismo cero de X a Y. En símbolos:
Para ser más explícitos, se puede utilizar la siguiente propiedad universal : un núcleo de f es un objeto K junto con un morfismo k : K → X tal que:
Como para cada propiedad universal, existe un isomorfismo único entre dos núcleos del mismo morfismo, y el morfismo k es siempre un monomorfismo (en el sentido categórico). Por lo tanto, es común hablar del núcleo de un morfismo. En categorías concretas , se puede tomar un subconjunto de K ′ para K , en cuyo caso, el morfismo k es la función de inclusión . Esto permite hablar de K como el núcleo, ya que f está implícitamente definido por K . Hay categorías no concretas, donde se puede definir de manera similar un núcleo "natural", tal que K define a k implícitamente.
No todo morfismo necesita tener un núcleo, pero si lo tiene, entonces todos sus núcleos son isomorfos en un sentido fuerte: si k : K → X y ℓ : L → X son núcleos de f : X → Y , entonces existe un isomorfismo único φ : K → L tal que ℓ ∘φ = k .
Los núcleos son familiares en muchas categorías del álgebra abstracta , como la categoría de grupos o la categoría de módulos (izquierdos) sobre un anillo fijo (incluidos los espacios vectoriales sobre un cuerpo fijo ). Para ser explícito, si f : X → Y es un homomorfismo en una de estas categorías, y K es su núcleo en el sentido algebraico habitual , entonces K es una subálgebra de X y el homomorfismo de inclusión de K a X es un núcleo en el sentido categórico.
Obsérvese que en la categoría de monoides , los núcleos de teoría de categorías existen al igual que para los grupos, pero estos núcleos no contienen suficiente información para fines algebraicos. Por lo tanto, la noción de núcleo que se estudia en la teoría de monoides es ligeramente diferente (véase #Relación con los núcleos algebraicos a continuación).
En la categoría de anillos unitarios no existen núcleos en el sentido de la teoría de categorías; de hecho, esta categoría ni siquiera tiene morfismos cero. No obstante, existe una noción de núcleo estudiada en la teoría de anillos que corresponde a los núcleos en la categoría de anillos no unitarios .
En la categoría de espacios topológicos puntiagudos , si f : X → Y es una función puntiaguda continua, entonces la preimagen del punto distinguido, K , es un subespacio de X . La función de inclusión de K en X es el núcleo categórico de f .
El concepto dual al de núcleo es el de conúcleo . Es decir, el núcleo de un morfismo es su conúcleo en la categoría opuesta , y viceversa.
Como se mencionó anteriormente, un núcleo es un tipo de ecualizador binario o núcleo de diferencia . Por el contrario, en una categoría preaditiva , cada ecualizador binario puede construirse como un núcleo. Para ser más específicos, el ecualizador de los morfismos f y g es el núcleo de la diferencia g − f . En símbolos:
Es por este hecho que los ecualizadores binarios se denominan "núcleos de diferencia", incluso en categorías no preaditivas donde no se pueden restar morfismos.
Todo núcleo, como cualquier otro ecualizador, es un monomorfismo . A la inversa, un monomorfismo se llama normal si es el núcleo de algún morfismo. Una categoría se llama normal si todo monomorfismo es normal.
Las categorías abelianas , en particular, son siempre normales. En esta situación, el núcleo del conúcleo de cualquier morfismo (que siempre existe en una categoría abeliana) resulta ser la imagen de ese morfismo; en símbolos:
Cuando m es un monomorfismo, debe ser su propia imagen; por lo tanto, no sólo las categorías abelianas son normales, de modo que todo monomorfismo es un núcleo, sino que también sabemos de qué morfismo es núcleo el monomorfismo, es decir, su co-núcleo. En símbolos:
El álgebra universal define una noción de núcleo para homomorfismos entre dos estructuras algebraicas del mismo tipo. Este concepto de núcleo mide qué tan lejos está el homomorfismo dado de ser inyectivo . Existe cierta superposición entre esta noción algebraica y la noción categórica de núcleo ya que ambas generalizan la situación de los grupos y módulos mencionados anteriormente. En general, sin embargo, la noción algebraica universal de núcleo se parece más al concepto de teoría de categorías de par de núcleos . En particular, los pares de núcleos se pueden usar para interpretar núcleos en la teoría de monoides o la teoría de anillos en términos de teoría de categorías.