En matemáticas , un ecualizador es un conjunto de argumentos donde dos o más funciones tienen valores iguales . Un ecualizador es el conjunto solución de una ecuación . En ciertos contextos, un núcleo de diferencia es el ecualizador de exactamente dos funciones.
Sean X e Y conjuntos . Sean f y g funciones , ambas de X a Y. Entonces el ecualizador de f y g es el conjunto de elementos x de X tales que f ( x ) es igual a g ( x ) en Y. Simbólicamente:
El ecualizador puede denominarse Eq( f , g ) o una variación de ese tema (como con letras minúsculas "eq"). En contextos informales, la notación { f = g } es común.
La definición anterior utiliza dos funciones f y g , pero no es necesario restringirlas a solo dos funciones, o incluso a un número finito de funciones. En general, si F es un conjunto de funciones de X a Y , entonces el ecualizador de los miembros de F es el conjunto de elementos x de X tal que, dados dos miembros cualesquiera f y g de F , f ( x ) es igual a g ( x ) en Y. Simbólicamente:
Este ecualizador se puede escribir como Eq( f , g , h , ...) si es el conjunto { f , g , h , ...}. En el último caso, también se puede encontrar { f = g = h = ···} en contextos informales.
Como caso degenerado de la definición general, sea F un singleton { f }. Dado que f ( x ) siempre es igual a sí mismo, el ecualizador debe ser todo el dominio X. Como caso aún más degenerado, sea F el conjunto vacío . Entonces el ecualizador es nuevamente todo el dominio X , ya que la cuantificación universal en la definición es vagamente cierta .
Un ecualizador binario (es decir, un ecualizador de sólo dos funciones) también se denomina núcleo de diferencia . Esto también puede denotarse como DiffKer( f , g ), Ker( f , g ) o Ker( f − g ). La última notación muestra de dónde viene esta terminología y por qué es más común en el contexto del álgebra abstracta : El núcleo de diferencia de f y g es simplemente el núcleo de la diferencia f − g . Además, el núcleo de una sola función f se puede reconstruir como el núcleo de diferencia Eq( f , 0), donde 0 es la función constante con valor cero .
Por supuesto, todo esto supone un contexto algebraico donde el núcleo de una función es la preimagen de cero bajo esa función; eso no es cierto en todas las situaciones. Sin embargo, la terminología "núcleo de diferencia" no tiene otro significado.
Los ecualizadores pueden definirse mediante una propiedad universal , que permite generalizar la noción desde la categoría de conjuntos a categorías arbitrarias .
En el contexto general, X e Y son objetos, mientras que f y g son morfismos de X a Y. Estos objetos y morfismos forman un diagrama en la categoría en cuestión, y el ecualizador es simplemente el límite de ese diagrama.
En términos más explícitos, el ecualizador consta de un objeto E y un morfismo eq : E → X satisfactorio , y tal que, dado cualquier objeto O y morfismo m : O → X , si , entonces existe un morfismo único u : O → E tal que .
Se dice que un morfismo iguala y si . [1]
En cualquier categoría algebraica universal , incluidas las categorías en las que se utilizan núcleos de diferencias, así como la categoría de conjuntos en sí, el objeto E siempre puede considerarse como la noción ordinaria de ecualizador, y el morfismo eq puede, en ese caso, considerarse como sea la función de inclusión de E como subconjunto de X .
La generalización de esto a más de dos morfismos es sencilla; simplemente use un diagrama más grande con más morfismos. El caso degenerado de un solo morfismo también es sencillo; entonces eq puede ser cualquier isomorfismo de un objeto E a X.
El diagrama correcto para el caso degenerado sin morfismos es ligeramente sutil: inicialmente se podría dibujar el diagrama como si estuviera formado por los objetos X e Y y sin morfismos. Sin embargo, esto es incorrecto, ya que el límite de dicho diagrama es el producto de X e Y , en lugar del ecualizador. (Y, de hecho, productos y ecualizadores son conceptos diferentes: la definición teórica de conjuntos de producto no concuerda con la definición teórica de conjuntos del ecualizador mencionada anteriormente, por lo tanto, en realidad son diferentes). En cambio, la idea adecuada es que cada diagrama de ecualizador se ocupa fundamentalmente de X , incluyendo Y solo porque Y es el codominio de los morfismos que aparecen en el diagrama. Con esta vista, vemos que si no hay morfismos involucrados, Y no aparece y el diagrama del ecualizador consta solo de X. El límite de este diagrama es entonces cualquier isomorfismo entre E y X.
Se puede demostrar que cualquier ecualizador de cualquier categoría es un monomorfismo . Si lo contrario se cumple en una categoría determinada, entonces se dice que esa categoría es regular (en el sentido de monomorfismos). De manera más general, un monomorfismo regular en cualquier categoría es cualquier morfismo m que sea un ecualizador de algún conjunto de morfismos. Algunos autores exigen de manera más estricta que m sea un ecualizador binario , es decir, un ecualizador de exactamente dos morfismos. Sin embargo, si la categoría en cuestión está completa , entonces ambas definiciones concuerdan.
La noción de núcleo de diferencia también tiene sentido en un contexto de teoría de categorías. La terminología "núcleo de diferencia" es común en toda la teoría de categorías para cualquier ecualizador binario. En el caso de una categoría preaditiva (una categoría enriquecida con respecto a la categoría de grupos abelianos ), el término "núcleo de diferencia" puede interpretarse literalmente, ya que la resta de morfismos tiene sentido. Es decir, Eq( f , g ) = Ker( f - g ), donde Ker denota el núcleo de la teoría de categorías .
Cualquier categoría con productos de fibra (retrocesos) y productos tiene ecualizadores.
