Categoría regular

Mathematical category with finite limits and coequalizers

En teoría de categorías , una categoría regular es una categoría con límites finitos y coecualizadores de un par de morfismos llamados pares de núcleos , que satisfacen ciertas condiciones de exactitud . De esa manera, las categorías regulares recuperan muchas propiedades de las categorías abelianas , como la existencia de imágenes , sin requerir aditividad. Al mismo tiempo, las categorías regulares proporcionan una base para el estudio de un fragmento de lógica de primer orden , conocido como lógica regular.

Definición

Una categoría C se denomina regular si satisface las tres propiedades siguientes: ^[1]

• C es finitamente completo .
• Si f  :  X  →  Y es un morfismo en C , y

es un pullback , entonces existe el coecualizador de p ₀ , p _{1 . El par (} p ₀ ,  p ₁ ) se denomina par kernel de f . Al ser un pullback, el par kernel es único hasta un isomorfismo único .

• Si f  :  X  →  Y es un morfismo en C , y

es un pullback, y si f es un epimorfismo regular , entonces g también es un epimorfismo regular. Un epimorfismo regular es un epimorfismo que aparece como un coecualizador de algún par de morfismos.

Ejemplos

Algunos ejemplos de categorías regulares incluyen:

• Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones entre los conjuntos.
• De manera más general, todo topo elemental
• Grp , la categoría de grupos y homomorfismos de grupos
• La categoría de anillos y homomorfismos de anillos
• De manera más general, la categoría de modelos de cualquier variedad
• Toda semirretícula de encuentro acotada , con morfismos dados por la relación de orden
• Cada categoría abeliana

Las siguientes categorías no son regulares:

• Arriba , la categoría de espacios topológicos y funciones continuas
• Gato , la categoría de pequeñas categorías y funtores

Factorización epi-mono

En una categoría regular, los epimorfismos regulares y los monomorfismos forman un sistema de factorización . Todo morfismo f:X→Y puede factorizarse en un epimorfismo regular e:X→E seguido de un monomorfismo m:E→Y , de modo que f=me . La factorización es única en el sentido de que si e':X→E' es otro epimorfismo regular y m':E'→Y es otro monomorfismo tal que f=m'e' , entonces existe un isomorfismo h:E→E' tal que he=e' y m'h=m . El monomorfismo m se llama imagen de f .

Secuencias exactas y funtores regulares

En una categoría regular, se dice que un diagrama de la forma es una secuencia exacta si es a la vez un coecualizador y un par de núcleos. La terminología es una generalización de las secuencias exactas en álgebra homológica : en una categoría abeliana , un diagrama ${\displaystyle R\rightrightarrows X\to Y}$

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

es exacto en este sentido si y sólo si es una secuencia exacta corta en el sentido habitual. ${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$

Un funtor entre categorías regulares se denomina regular si preserva los límites finitos y los coecualizadores de pares de núcleos. Un funtor es regular si y solo si preserva los límites finitos y las secuencias exactas. Por esta razón, los funtores regulares a veces se denominan funtores exactos . Los funtores que preservan los límites finitos a menudo se denominan exactos por la izquierda .

Lógica regular y categorías regulares

La lógica regular es el fragmento de la lógica de primer orden que puede expresar enunciados de la forma

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$,

donde y son fórmulas regulares , es decir, fórmulas construidas a partir de fórmulas atómicas , la constante de verdad, los encuentros binarios (conjunción) y la cuantificación existencial . Tales fórmulas pueden interpretarse en una categoría regular, y la interpretación es un modelo de un consecuente , si la interpretación de factores a través de la interpretación de . ^[2] Esto da para cada teoría (conjunto de consecuentes) T y para cada categoría regular C una categoría Mod ( T ,C) de modelos de T en C . Esta construcción da un funtor Mod ( T ,-): RegCat → Cat de la categoría RegCat de pequeñas categorías regulares y funtores regulares a pequeñas categorías. Es un resultado importante que para cada teoría T hay una categoría regular R(T) , tal que para cada categoría regular C hay una equivalencia ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)}$,

lo cual es natural en C . Aquí, R(T) se llama la categoría clasificatoria de la teoría regular T. Hasta la equivalencia, cualquier categoría regular pequeña surge de esta manera como la categoría clasificatoria de alguna teoría regular. ^[2]

Categorías exactas (efectivas)

La teoría de las relaciones de equivalencia es una teoría regular. Una relación de equivalencia sobre un objeto de una categoría regular es un monomorfismo que satisface las interpretaciones de las condiciones de reflexividad, simetría y transitividad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$

Cada par de núcleos define una relación de equivalencia . A la inversa, se dice que una relación de equivalencia es efectiva si surge como un par de núcleos. ^[3] Una relación de equivalencia es efectiva si y solo si tiene un coecualizador y es el par de núcleos de este. ${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$ ${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$

Se dice que una categoría regular es exacta , o exacta en el sentido de Barr , o regular efectiva , si cada relación de equivalencia es efectiva. ^[4] (Nótese que el término "categoría exacta" también se usa de manera diferente, para las categorías exactas en el sentido de Quillen ).

Ejemplos de categorías exactas

• La categoría de conjuntos es exacta en este sentido, y lo es también cualquier topos (elemental) . Toda relación de equivalencia tiene un coecualizador, que se encuentra tomando clases de equivalencia .
• Cada categoría abeliana es exacta.
• Toda categoría que sea monádica sobre la categoría de conjuntos es exacta.
• La categoría de espacios de Piedra es regular, pero no exacta.

Véase también

• Alegoría (teoría de categorías)
• Topografía
• Finalización exacta

Referencias

1. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 177
2. Butz, Carsten (1998). "Categorías regulares y lógica regular". Serie de conferencias BRICS LS-98-2.
3. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 169
4. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 179

• Barr, Michael ; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (2006) [1971]. Categorías exactas y categorías de haces. Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 236. Springer. ISBN 978-3-540-36999-8.
• Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica. Vol. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44179-X.
• Lack, Stephen (1999). "Una nota sobre la completitud exacta de una categoría regular y sus generalizaciones infinitarias". Teoría y aplicaciones de categorías . 5 (3): 70–80.
• van Oosten, Jaap (1995). "Teoría básica de categorías" (PDF) . Universidad de Aarhus. Serie de conferencias BRICS LS-95-1.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-83414-7.Zbl 1034.18001  .