En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la completitud exacta construye una categoría Barr-exacta a partir de cualquier categoría finitamente completa . Se utiliza para formar los topos efectivos y otros topos de realizabilidad.
Sea C una categoría con límites finitos. Entonces la completitud exacta de C (denotada C ex ) tiene para sus objetos relaciones de pseudo-equivalencia en C . [1] Una relación de pseudo-equivalencia es como una relación de equivalencia excepto que no necesita ser conjuntamente mónica. Un objeto en C ex consiste entonces en dos objetos X 0 y X 1 y dos morfismos paralelos x 0 y x 1 de X 1 a X 0 tales que existe un morfismo de reflexividad r de X 0 a X 1 tal que x 0 r = x 1 r = 1 X 0 ; un morfismo de simetría s de X 1 a sí mismo tal que x 0 s = x 1 y x 1 s = x 0 ; y un morfismo de transitividad t de X 1 × x 1 , X 0 , x 0 X 1 a X 1 tal que x 0 t = x 0 p y x 1 t = x 1 q , donde p y q son las dos proyecciones del pullback antes mencionado . Un morfismo de ( X 0 , X 1 , x 0 , x 1 ) a ( Y 0 , Y 1 , y 0 , y 1 ) en C ex está dado por una clase de equivalencia de morfismos f 0 de X 0 a Y 0 tal que existe un morfismo f 1 de X 1 a Y 1 tal que y 0 f1 = f 0 x 0 e y 1 f 1 = f 0 x 1 , siendo dos de tales morfismos f 0 y g 0 equivalentes si existe un morfismo e de X 0 a Y 1 tal que y 0 e = f 0 e y 1 e = g 0 .