Dual (teoría de categorías)

Correspondencia entre propiedades de una categoría y su opuesta

En teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la dualidad es una correspondencia entre las propiedades de una categoría C y las propiedades duales de la categoría opuesta C ^op . Dado un enunciado sobre la categoría C , al intercambiar la fuente y el destino de cada morfismo , así como al intercambiar el orden de composición de dos morfismos, se obtiene un enunciado dual correspondiente sobre la categoría opuesta C ^op . La dualidad, como tal, es la afirmación de que la verdad es invariante bajo esta operación sobre los enunciados. En otras palabras, si un enunciado es verdadero sobre C , entonces su enunciado dual es verdadero sobre C ^op . Además, si un enunciado es falso sobre C , entonces su dual tiene que ser falso sobre C ^op .

Dada una categoría concreta C , suele suceder que la categoría opuesta C ^op per se sea abstracta. C ^op no tiene por qué ser una categoría que surja de la práctica matemática. En este caso, se dice que otra categoría D también está en dualidad con C si D y C ^op son equivalentes como categorías .

En el caso en que C y su opuesto C ^op son equivalentes, dicha categoría es auto-dual. ^[1]

Definición formal

Definimos el lenguaje elemental de la teoría de categorías como el lenguaje de primer orden de dos tipos , con objetos y morfismos como tipos distintos, junto con las relaciones de un objeto que es la fuente o el destino de un morfismo y un símbolo para componer dos morfismos.

Sea σ cualquier enunciado en este lenguaje. Formamos el dual σ ^op de la siguiente manera:

1. Intercambie cada aparición de "fuente" en σ con "objetivo".
2. Intercambiar el orden de composición de los morfismos. Es decir, reemplazar cada ocurrencia de con ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$

De manera informal, estas condiciones establecen que el dual de un enunciado se forma invirtiendo flechas y composiciones .

La dualidad es la observación de que σ es verdadera para alguna categoría C si y sólo si σ ^op es verdadera para C ^op . ^{[2] [3]}

Ejemplos

• Un morfismo es un monomorfismo si implica . Realizando la operación dual, obtenemos el enunciado que implica Para un morfismo , esto es precisamente lo que significa que f sea un epimorfismo . En resumen, la propiedad de ser un monomorfismo es dual a la propiedad de ser un epimorfismo. ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ ${\displaystyle g=h}$ ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ ${\displaystyle g=h.}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$

Aplicando la dualidad, esto significa que un morfismo en alguna categoría C es un monomorfismo si y sólo si el morfismo inverso en la categoría opuesta C ^op es un epimorfismo.

• Un ejemplo es el de invertir la dirección de las desigualdades en un orden parcial . Por lo tanto, si X es un conjunto y ≤ una relación de orden parcial, podemos definir una nueva relación de orden parcial ≤ _nueva mediante

x ≤ _nueva y si y sólo si y ≤ x .

Este ejemplo sobre órdenes es un caso especial, ya que los órdenes parciales corresponden a un cierto tipo de categoría en la que Hom( A , B ) puede tener como máximo un elemento. En aplicaciones a la lógica, esto parece una descripción muy general de la negación (es decir, las demostraciones se realizan en la dirección opuesta). Por ejemplo, si tomamos el opuesto de un retículo , encontraremos que los encuentros y las uniones tienen sus roles intercambiados. Esta es una forma abstracta de las leyes de De Morgan , o de la dualidad aplicada a los retículos.

• Límites y colímites son nociones duales.
• Las fibraciones y cofibraciones son ejemplos de nociones duales en topología algebraica y teoría de homotopía . En este contexto, la dualidad suele denominarse dualidad de Eckmann-Hilton .

Véase también

• Functor adjunto
• Objeto dual
• Dualidad (matemáticas)
• Categoría opuesta
• Cuadrado de pulacion

Referencias

1. Jiří Adámek; J. Rosicky (1994). Categorías accesibles y presentables a nivel local. Cambridge University Press. pág. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
2. Mac Lane 1978, pág. 33.
3. Awodey 2010, págs. 53-55.

• "Categoría dual", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Principio de dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1978). Categorías para el matemático en activo (segunda edición). Nueva York, NY: Springer New York. pág. 33. ISBN 1441931236.OCLC 851741862  .
• Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías (2.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. Págs. 53-55. ISBN. 978-0199237180.OCLC 740446073  .