En el área matemática de la teoría del orden , cada conjunto parcialmente ordenado P da lugar a un conjunto parcialmente ordenado dual (u opuesto ) que a menudo se denota por P op o P d . Este orden dual P op se define como el mismo conjunto, pero con el orden inverso , es decir, x ≤ y se cumple en P op si y solo si y ≤ x se cumple en P . Es fácil ver que esta construcción, que se puede representar invirtiendo el diagrama de Hasse para P , producirá de hecho un conjunto parcialmente ordenado. En un sentido más amplio, también se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son duales si son dualmente isomorfos , es decir, si un conjunto poset es de orden isomorfo al dual del otro.
La importancia de esta definición simple se debe al hecho de que todas las definiciones y teoremas de la teoría del orden pueden transferirse fácilmente al orden dual. Formalmente, esto se refleja en el principio de dualidad para conjuntos ordenados:
Si un enunciado o definición es equivalente a su dual, se dice que es autodual . Nótese que la consideración de los órdenes duales es tan fundamental que a menudo ocurre implícitamente cuando se escribe ≥ para el orden dual de ≤ sin dar ninguna definición previa de este "nuevo" símbolo.
Naturalmente, hay un gran número de ejemplos de conceptos que son duales:
Algunos ejemplos de nociones que son autoduales incluyen:
Dado que los órdenes parciales son antisimétricos , las únicas que son autoduales son las relaciones de equivalencia (pero la noción de orden parcial es autodual).