En la teoría del orden matemático , un ideal es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado (poset). Aunque históricamente este término se derivó de la noción de ideal de anillo del álgebra abstracta , posteriormente se generalizó a una noción diferente. Los ideales son de gran importancia para muchas construcciones en teoría del orden y de la red .
Un subconjunto I de un conjunto parcialmente ordenado es un ideal , si se cumplen las siguientes condiciones: [1] [2]
Si bien esta es la forma más general de definir un ideal para posets arbitrarios, originalmente se definió solo para redes . En este caso, se puede dar la siguiente definición equivalente: un subconjunto I de una red es ideal si y sólo si es un conjunto inferior que está cerrado bajo uniones finitas ( suprema ); es decir, no está vacío y para todo x , y en I , el elemento de P también está en I. [3]
Una noción más débil de ideal de orden se define como un subconjunto de un poset P que satisface las condiciones 1 y 2 anteriores. En otras palabras, un ideal de orden es simplemente un conjunto inferior . De manera similar, un ideal también puede definirse como un "conjunto inferior dirigido".
La noción dual de ideal, es decir, el concepto que se obtiene invirtiendo todo ≤ e intercambiándolo con es un filtro .
Los ideales de Frink , los pseudoideales y los pseudoideales de Doyle son diferentes generalizaciones de la noción de ideal reticular.
Un ideal o filtro se dice que es propio si no es igual al conjunto completo P. [3]
El ideal más pequeño que contiene un elemento dado p es unideal principal yse dice quepelemento principal del ideal en esta situación. El ideal principalpara un principalpviene dado por↓ p = { x ∈ P | x ≤ p }.
Las definiciones anteriores de "ideal" e "ideal de orden" son las estándar, [3] [4] [5] pero existe cierta confusión en la terminología. A veces, palabras y definiciones como "ideal", "ideal de orden", " ideal de Frink " o "ideal de orden parcial" se significan entre sí. [6] [7]
Un caso especial importante de ideal lo constituyen aquellos ideales cuyos complementos de la teoría de conjuntos son filtros, es decir, ideales en orden inverso. Estos ideales se llamanideal primo s. Tenga en cuenta también que, dado que requerimos que los ideales y los filtros no estén vacíos, todo ideal primo es necesariamente adecuado. Para redes, los ideales primos se pueden caracterizar de la siguiente manera:
Un subconjunto I de una red es un ideal primo, si y sólo si
Se comprueba fácilmente que esto equivale efectivamente a afirmar que es un filtro (que entonces también es primo, en el doble sentido).
Para una red completa, la noción adicional deEl ideal completamente primo es significativo. Se define como un ideal propioIcon la propiedad adicional de que, siempre que el encuentro (ínfimum) de algún conjunto arbitrario A está en I , algúnelemento deAtambién está enI. Entonces, este es solo un ideal primo específico que extiende las condiciones anteriores a infinitos encuentros.
La existencia de ideales primos en general no es obvia y, a menudo, no se puede derivar una cantidad satisfactoria de ideales primos dentro de ZF ( teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección ). Esta cuestión se analiza en varios teoremas de ideales primos , que son necesarios para muchas aplicaciones que requieren ideales primos.
Un yo ideal es unideal máximo si es adecuado y no existeun idealadecuadoJque sea un superconjunto estricto deI. Asimismo, un filtroFes máximo si es adecuado y no existe un filtro adecuado que sea un superconjunto estricto.
Cuando un poset es una red distributiva , los ideales máximos y los filtros son necesariamente primos, mientras que lo contrario de esta afirmación es falsa en general.
Los filtros máximos a veces se denominan ultrafiltros , pero esta terminología suele reservarse para las álgebras booleanas, donde un filtro máximo (ideal) es un filtro (ideal) que contiene exactamente uno de los elementos { a , ¬ a }, para cada elemento a del Álgebra de Boole. En álgebras de Boole, los términos ideal primo e ideal máximo coinciden, al igual que los términos filtro primo y filtro máximo .
Hay otra noción interesante de maximalidad de ideales: considere un ideal I y un filtro F tal que I sea disjunto de F. Estamos interesados en un ideal M que sea máximo entre todos los ideales que contienen a I y son disjuntos de F. En el caso de redes distributivas, tal M es siempre un ideal primo. A continuación se muestra una prueba de esta afirmación.
Supongamos que el ideal M es máximo con respecto a la desunión del filtro F. Supongamos en el caso de una contradicción que M no es primo, es decir, existe un par de elementos a y b tales que a ∧ b en M pero ni a ni b están en M. Considere el caso de que para todo m en M , m ∨ a no está en F . Se puede construir un N ideal tomando el cierre hacia abajo del conjunto de todas las uniones binarias de esta forma, es decir, N = { x | x ≤ m ∨ a para algunos m ∈ M } . Se comprueba fácilmente que N es de hecho un disjunto ideal de F que es estrictamente mayor que M. Pero esto contradice la maximalidad de M y, por tanto, el supuesto de que M no es primo.
Para el otro caso, supongamos que hay algo de m en M con m ∨ a en F . Ahora bien, si cualquier elemento n en M es tal que n ∨ b está en F , se encuentra que ( m ∨ n ) ∨ b y ( m ∨ n ) ∨ a están ambos en F. Pero entonces su encuentro está en F y, por distributividad, ( m ∨ n ) ∨ ( a ∧ b ) también está en F. Por otro lado, esta unión finita de elementos de M está claramente en M , de modo que la supuesta existencia de n contradice la disjunción de los dos conjuntos. Por tanto , todos los elementos n de M tienen una unión con b que no está en F. En consecuencia , se puede aplicar la construcción anterior con b en lugar de a para obtener un ideal que sea estrictamente mayor que M y al mismo tiempo sea disjunto de F. Esto termina la prueba.
Sin embargo, en general no está claro si existe algún ideal M que sea máximo en este sentido. Sin embargo, si asumimos el axioma de elección en nuestra teoría de conjuntos, entonces se puede demostrar la existencia de M para cada par filtro-ideal disjunto. En el caso especial de que el orden considerado sea un álgebra de Boole , este teorema se llama teorema del ideal primo de Boole . Es estrictamente más débil que el axioma de elección y resulta que no se necesita nada más para muchas aplicaciones de ideales de la teoría del orden.
La construcción de ideales y filtros es una herramienta importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden.
Los ideales fueron introducidos por Marshall H. Stone por primera vez para las álgebras booleanas , [8] donde el nombre se deriva de los ideales de anillo del álgebra abstracta. Adoptó esta terminología porque, utilizando el isomorfismo de las categorías de las álgebras de Boole y de los anillos de Boole , las dos nociones efectivamente coinciden.
Frink realizó la generalización a cualquier posets . [9]
