Equivalencia de categorías

Relación matemática abstracta

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas abstractas , una equivalencia de categorías es una relación entre dos categorías que establece que dichas categorías son "esencialmente iguales". Existen numerosos ejemplos de equivalencias categóricas de muchas áreas de las matemáticas. Establecer una equivalencia implica demostrar fuertes similitudes entre las estructuras matemáticas en cuestión. En algunos casos, estas estructuras pueden parecer no relacionadas en un nivel superficial o intuitivo, lo que hace que la noción sea bastante poderosa: crea la oportunidad de "traducir" teoremas entre diferentes tipos de estructuras matemáticas, sabiendo que se preserva el significado esencial de esos teoremas. bajo la traducción.

Si una categoría es equivalente al opuesto (o dual) de otra categoría entonces se habla de dualidad de categorías , y se dice que las dos categorías son dualmente equivalentes .

Una equivalencia de categorías consiste en un funtor entre las categorías involucradas, que debe tener un funtor "inverso". Sin embargo, en contraste con la situación común para los isomorfismos en un entorno algebraico, la combinación del funtor y su "inverso" no es necesariamente la correspondencia de identidad. En cambio, es suficiente que cada objeto sea naturalmente isomorfo a su imagen bajo esta composición. Por tanto, se pueden describir los functores como "inversos hasta el isomorfismo". De hecho, existe un concepto de isomorfismo de categorías en el que se requiere una forma estricta de functor inverso, pero es de mucha menos utilidad práctica que el concepto de equivalencia .

Definición

Formalmente, dadas dos categorías C y D , una equivalencia de categorías consta de un funtor F  : C → D , un funtor G  : D → C y dos isomorfismos naturales ε: FG → I _D y η: I _C → GF . Aquí FG : D → D y GF : C → C denotan las respectivas composiciones de F y G , e I _C : C → C e I _D : D → D denotan los funtores identidad en C y D , asignando cada objeto y morfismo a sí mismo. Si F y G son functores contravariantes, se habla de una dualidad de categorías .

A menudo no se especifican todos los datos anteriores. Por ejemplo, decimos que las categorías C y D son equivalentes (respectivamente dualmente equivalentes ) si existe una equivalencia (respectivamente dualidad) entre ellas. Además, decimos que F "es" una equivalencia de categorías si existen un funtor inverso G e isomorfismos naturales como los anteriores. Sin embargo, tenga en cuenta que el conocimiento de F generalmente no es suficiente para reconstruir G y los isomorfismos naturales: puede haber muchas opciones (ver el ejemplo a continuación).

Caracterizaciones alternativas

Un funtor F  : C → D produce una equivalencia de categorías si y sólo si es simultáneamente:

• completo , es decir, para dos objetos cualesquiera c ₁ y c ₂ de C , el mapa Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducido por F es sobreyectivo ;
• fiel , es decir, para dos objetos cualesquiera c ₁ y c ₂ de C , el mapa Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) inducido por F es inyectivo ; y
• esencialmente sobreyectivo (denso) , es decir , cada objeto d en D es isomorfo a un objeto de la forma Fc , para c en C. ^[1]

Este es un criterio bastante útil y comúnmente aplicado, porque no es necesario construir explícitamente la G "inversa" y los isomorfismos naturales entre FG , GF y los functores de identidad. Por otro lado, aunque las propiedades anteriores garantizan la existencia de una equivalencia categórica (dada una versión suficientemente fuerte del axioma de elección en la teoría de conjuntos subyacente), los datos faltantes no están completamente especificados y, a menudo, hay muchas opciones. Es una buena idea especificar explícitamente las construcciones que faltan siempre que sea posible. Debido a esta circunstancia, un functor con estas propiedades a veces se denomina equivalencia débil de categorías . (Desafortunadamente, esto entra en conflicto con la terminología de la teoría de tipos de homotopía ).

También existe una estrecha relación con el concepto de functores adjuntos , donde decimos que es el adjunto izquierdo de , o igualmente, G es el adjunto derecho de F. Entonces C y D son equivalentes (como se definió anteriormente en el sentido de que existen isomorfismos naturales de FG a I _D y de I _C a GF ) si y solo si y tanto F como G son completos y fieles. ${\displaystyle F\dashv G}$ ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$ ${\displaystyle G:D\rightarrow C}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

Cuando los functores adjuntos no son completos ni fieles, entonces podemos considerar que su relación de adjunción expresa una "forma más débil de equivalencia" de categorías. Suponiendo que se dan las transformaciones naturales para las conjunciones, todas estas formulaciones permiten una construcción explícita de los datos necesarios y no se necesitan principios de elección. La propiedad clave que hay que demostrar aquí es que la unidad de un adjunto es un isomorfismo si y sólo si el adjunto correcto es un functor completo y fiel. ${\displaystyle F\dashv G}$

Ejemplos

• Considere la categoría que tiene un solo objeto y un solo morfismo , y la categoría con dos objetos y cuatro morfismos: dos morfismos de identidad y dos isomorfismos y . Las categorías y son equivalentes; podemos (por ejemplo) mapear a y mapear tanto objetos de to como todos los morfismos de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle 1_{d_{1}}}$ ${\displaystyle 1_{d_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$
• Por el contrario, la categoría con un solo objeto y un solo morfismo no es equivalente a la categoría con dos objetos y solo dos morfismos de identidad. Los dos objetos no son isomórficos porque no hay morfismos entre ellos. Por tanto, cualquier funtor desde hasta no será esencialmente sobreyectivo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$
• Considere una categoría con un objeto y dos morfismos . Sea el morfismo de identidad on y set . Por supuesto, es equivalente a sí mismo, lo que se puede demostrar reemplazando los isomorfismos naturales requeridos entre el functor y él mismo. Sin embargo, también es cierto que se produce un isomorfismo natural de hacia sí mismo. Por lo tanto, dada la información de que los functores de identidad forman una equivalencia de categorías, en este ejemplo todavía se puede elegir entre dos isomorfismos naturales para cada dirección. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f\circ f=1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$
• La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente, pero no isomorfa, a la categoría de conjuntos puntiagudos y mapas que preservan puntos. ^[2]
• Considere la categoría de espacios vectoriales reales de dimensión finita y la categoría de todas las matrices reales (esta última categoría se explica en el artículo sobre categorías aditivas ). Entonces y son equivalentes: el functor que mapea el objeto de al espacio vectorial y las matrices a los mapas lineales correspondientes es completo, fiel y esencialmente sobreyectivo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G\colon D\to C}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$
• Uno de los temas centrales de la geometría algebraica es la dualidad de la categoría de esquemas afines y la categoría de anillos conmutativos . El funtor asocia a cada anillo conmutativo su espectro , el esquema definido por los ideales primos del anillo. Su adjunto asocia a cada esquema afín su anillo de secciones globales. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$
• En análisis funcional, la categoría de álgebras C* conmutativas con identidad es contravariantemente equivalente a la categoría de espacios compactos de Hausdorff . Bajo esta dualidad, cada espacio compacto de Hausdorff está asociado con el álgebra de funciones continuas de valores complejos en , y cada álgebra C* conmutativa está asociada con el espacio de sus ideales máximos . Esta es la representación de Gelfand . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• En la teoría de redes , hay una serie de dualidades, basadas en teoremas de representación que conectan ciertas clases de redes con clases de espacios topológicos . Probablemente el teorema más conocido de este tipo sea el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole , que es un ejemplo especial dentro del esquema general de la dualidad de Stone . Cada álgebra booleana se asigna a una topología específica en el conjunto de ultrafiltros de . Por el contrario, para cualquier topología los subconjuntos abiertos (es decir, cerrados y abiertos) producen un álgebra booleana. Se obtiene una dualidad entre la categoría de álgebras de Boole (con sus homomorfismos) y espacios de Stone (con mapeos continuos). Otro caso de dualidad de Stone es el teorema de representación de Birkhoff que establece una dualidad entre órdenes parciales finitos y redes distributivas finitas. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
• En topología inútil, se sabe que la categoría de lugares espaciales es equivalente a la categoría dual de espacios sobrios.
• Para dos anillos R y S , la categoría de producto R - Mod × S - Mod equivale a ( R × S ) -Mod . ^{[ cita necesaria ]}
• Cualquier categoría es equivalente a su esqueleto .

Propiedades

Como regla general, una equivalencia de categorías preserva todos los conceptos y propiedades "categóricos". Si F  : C → D es una equivalencia, entonces las siguientes afirmaciones son todas verdaderas:

• el objeto c de C es un objeto inicial (u objeto terminal , u objeto cero ), si y sólo si Fc es un objeto inicial (u objeto terminal , u objeto cero ) de D
• el morfismo α en C es un monomorfismo (o epimorfismo , o isomorfismo ), si y sólo si Fα es un monomorfismo (o epimorfismo, o isomorfismo) en D.
• el funtor H  : I → C tiene límite (o colimit) l si y sólo si el funtor FH  : I → D tiene límite (o colimit) Fl . Esto se puede aplicar a ecualizadores , productos y coproductos entre otros. Aplicándolo a las pepitas y cocas , vemos que la equivalencia F es un funtor exacto .
• C es una categoría cartesiana cerrada (o un topos ) si y sólo si D es cartesiana cerrada (o un topos).

Las dualidades "invierten todos los conceptos": convierten los objetos iniciales en objetos terminales, los monomorfismos en epimorfismos, los núcleos en cokernels, los límites en colimits, etc.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y G ₁ y G ₂ son dos inversos de F , entonces G ₁ y G ₂ son naturalmente isomorfos.

Si F  : C → D es una equivalencia de categorías, y si C es una categoría preaditiva (o categoría aditiva , o categoría abeliana ), entonces D puede convertirse en una categoría preaditiva (o categoría aditiva, o categoría abeliana) en tal forma en que F se convierte en un functor aditivo . Por otra parte, cualquier equivalencia entre categorías de aditivos es necesariamente aditiva. (Tenga en cuenta que esta última afirmación no es cierta para las equivalencias entre categorías preaditivas).

Una autoequivalencia de una categoría C es una equivalencia F  : C → C . Las autoequivalencias de C forman un grupo bajo composición si consideramos idénticas dos autoequivalencias que son naturalmente isomorfas. Este grupo captura las "simetrías" esenciales de C. (Una advertencia: si C no es una categoría pequeña, entonces las autoequivalencias de C pueden formar una clase adecuada en lugar de un conjunto ).

Ver también

• Definiciones equivalentes de estructuras matemáticas.

Referencias

1. Mac Lane (1998), Teorema IV.4.1
2. Lutz Schröder (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Jürgen Koslowski y Austin Melton (ed.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN​ 978-0-8176-4186-3.

• equivalencia de categorías en el n Lab
• "Equivalencia de categorías", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Nueva York: Springer. págs. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.