En matemáticas, las definiciones equivalentes se utilizan de dos maneras algo diferentes. En primer lugar, dentro de una teoría matemática particular (por ejemplo, geometría euclidiana ), una noción (por ejemplo, elipse o superficie mínima ) puede tener más de una definición. Estas definiciones son equivalentes en el contexto de una estructura matemática dada ( espacio euclidiano , en este caso). En segundo lugar, una estructura matemática puede tener más de una definición (por ejemplo, espacio topológico tiene al menos siete definiciones ; campo ordenado tiene al menos dos definiciones ).
En el primer caso, la equivalencia de dos definiciones significa que un objeto matemático (por ejemplo, un cuerpo geométrico) satisface una definición si y sólo si satisface la otra definición.
En este último caso, el significado de equivalencia (entre dos definiciones de una estructura) es más complicado, ya que una estructura es más abstracta que un objeto. Muchos objetos diferentes pueden implementar la misma estructura.
Los números naturales pueden implementarse como 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} y así sucesivamente; o alternativamente como 0 = { }, 1 = {0} ={{ }}, 2 = {1} = {{{ }}} y así sucesivamente. Estas son dos implementaciones diferentes pero isomorfas de los números naturales en la teoría de conjuntos. Son isomorfas como modelos de los axiomas de Peano , es decir, triples ( N ,0, S ) donde N es un conjunto, 0 un elemento de N , y S (llamada función sucesora ) una función de N consigo misma (que satisface las condiciones apropiadas). En la primera implementación S ( n ) = n ∪ { n }; en la segunda implementación S ( n ) = { n }. Como se enfatiza en el problema de identificación de Benacerraf , las dos implementaciones difieren en su respuesta a la pregunta de si 0 ∈ 2; sin embargo, esta no es una pregunta legítima sobre números naturales (ya que la relación ∈ no está estipulada por la(s) firma(s) relevante(s), vea la siguiente sección). [detalles 1] De manera similar, se utilizan implementaciones diferentes pero isomorfas para números complejos .
La función sucesora S sobre números naturales conduce a operaciones aritméticas , adición y multiplicación, y al orden total, dotando así a N de una estructura de semianillo ordenado . Este es un ejemplo de estructura deducida. La estructura de semianillo ordenado ( N , +, ·, ≤) se deduce de la estructura de Peano ( N , 0, S ) mediante el siguiente procedimiento: n + 0 = n , m + S ( n ) = S ( m + n ), m · 0 = 0, m · S ( n ) = m + ( m · n ), y m ≤ n si y solo si existe k ∈ N tal que m + k = n . Y a la inversa, la estructura de Peano se deduce de la estructura de semianillo ordenado de la siguiente manera: S ( n ) = n + 1, y 0 se define por 0 + 0 = 0. Esto significa que las dos estructuras en N son equivalentes por medio de los dos procedimientos.
Las dos implementaciones isomorfas de los números naturales mencionadas en la sección anterior son isomorfas como ternas ( N ,0, S ), es decir, estructuras de la misma signatura (0, S ) que consisten en un símbolo constante 0 y una función unaria S . Una estructura de semianillo ordenado ( N , +, ·, ≤) tiene otra signatura (+, ·, ≤) que consiste en dos funciones binarias y una relación binaria. La noción de isomorfismo no se aplica a estructuras de signaturas diferentes. En particular, una estructura de Peano no puede ser isomorfa a un semianillo ordenado. Sin embargo, un semianillo ordenado deducido de una estructura de Peano puede ser isomorfo a otro semianillo ordenado. Tal relación entre estructuras de signaturas diferentes a veces se denomina criptomorfismo .
Una estructura puede implementarse dentro de una teoría de conjuntos ZFC u otra teoría de conjuntos como NBG , NFU , ETCS. [1] Alternativamente, una estructura puede tratarse en el marco de la lógica de primer orden , la lógica de segundo orden , la lógica de orden superior , una teoría de tipos , una teoría de tipos de homotopía , etc. [detalles 2]
Según Bourbaki , la escala de conjuntos de un conjunto dado X consiste en todos los conjuntos que surgen de X al tomar productos cartesianos y conjuntos potencia , en cualquier combinación, un número finito de veces. Ejemplos: X ; X × X ; P ( X ); P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × X. (Aquí A × B es el producto de A y B , y P ( A ) es el conjunto potencia de A. ) En particular, un par (0, S ) que consiste en un elemento 0 ∈ N y una función unaria S : N → N pertenece a N × P ( N × N ) (ya que una función es un subconjunto del producto cartesiano ). Una tripleta (+, ·, ≤) formada por dos funciones binarias N × N → N y una relación binaria sobre N pertenece a P ( N × N × N ) × P ( N × N × N ) × P ( N × N ). De manera similar, cada estructura algebraica sobre un conjunto pertenece al conjunto correspondiente en la escala de conjuntos sobre X .
Las estructuras no algebraicas sobre un conjunto X a menudo implican conjuntos de subconjuntos de X (es decir, subconjuntos de P ( X ), en otras palabras, elementos de P ( P ( X ))). Por ejemplo, la estructura de un espacio topológico , llamada topología sobre X , tratada como el conjunto de conjuntos "abiertos" ; o la estructura de un espacio medible, tratada como la σ-álgebra de conjuntos "medibles"; ambos son elementos de P ( P ( X )). Estas son estructuras de segundo orden. [2]
Las estructuras no algebraicas más complicadas combinan un componente algebraico y un componente no algebraico. Por ejemplo, la estructura de un grupo topológico consta de una topología y la estructura de un grupo. Por lo tanto, pertenece al producto de P ( P ( X )) y otro conjunto ("algebraico") en la escala; este producto es a su vez un conjunto en la escala.
Dados dos conjuntos X , Y y una biyección f : X → Y , se construyen las biyecciones correspondientes entre conjuntos de escala. Es decir, la biyección X × X → Y × Y envía ( x 1 , x 2 ) a ( f ( x 1 ), f ( x 2 )); la biyección P ( X ) → P ( Y ) envía un subconjunto A de X a su imagen f ( A ) en Y ; y así sucesivamente, recursivamente: si un conjunto de escala es producto de conjuntos de escala o conjunto potencia de un conjunto de escala, se aplica una de las dos construcciones.
Sean ( X , U ) y ( Y , V ) dos estructuras de la misma firma. Entonces U pertenece a un conjunto de escala S X , y V pertenece al conjunto de escala correspondiente S Y . Utilizando la biyección F : S X → S Y construida a partir de una biyección f : X → Y , se define:
Esta noción general de isomorfismo generaliza muchas nociones menos generales enumeradas a continuación.
De hecho, Bourbaki estipula dos características adicionales. En primer lugar, se pueden utilizar varios conjuntos X 1 , ..., X n (los llamados conjuntos base principales), en lugar de un único conjunto X . Sin embargo, esta característica es de poca utilidad. Todos los elementos enumerados anteriormente utilizan un único conjunto base principal. En segundo lugar, se pueden utilizar los llamados conjuntos base auxiliares E 1 , ..., E m . Esta característica se utiliza ampliamente. De hecho, la estructura de un espacio vectorial estipula no solo la adición X × X → X sino también la multiplicación escalar R × X → X (si R es el cuerpo de escalares). Por lo tanto, R es un conjunto base auxiliar (llamado también "externo" [3] ). La escala de conjuntos consta de todos los conjuntos que surgen de todos los conjuntos base (tanto principales como auxiliares) al tomar productos cartesianos y conjuntos potencia. Aún así, la función f (posiblemente un isomorfismo) actúa solo sobre X ; los conjuntos auxiliares están dotados de funciones identidad. (Sin embargo, el caso de n conjuntos principales conduce a n mapas.)
Varias afirmaciones formuladas por Bourbaki sin mencionar categorías pueden reformularse fácilmente en el lenguaje de la teoría de categorías . Primero, algo de terminología.
Proposición. [7] Cada esquema de construcción escalonado conduce a un funtor de Set* a sí mismo.
En particular, el grupo de permutación de un conjunto X actúa sobre cada conjunto de escala S X .
Para formular una proposición más, se necesita la noción de "especie de estructura", ya que el esquema de construcción escalonada sólo proporciona información preliminar sobre una estructura. Por ejemplo, los grupos conmutativos y los grupos (arbitrarios) son dos especies diferentes del mismo esquema de construcción escalonada. Otro ejemplo: los espacios topológicos y los espacios mensurables. Se diferencian en el llamado axioma de la especie. Este axioma es la conjunción de todas las propiedades requeridas, como "la multiplicación es asociativa" para los grupos, o "la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto" para los espacios topológicos.
Proposición. [8] Cada especie de estructuras conduce a un funtor de Conjunto* a sí mismo.
Ejemplo. Para las especies de grupos, el funtor F asigna un conjunto X al conjunto F ( X ) de todas las estructuras de grupo en X . Para las especies de espacios topológicos, el funtor F asigna un conjunto X al conjunto F ( X ) de todas las topologías en X . El morfismo F ( f ) : F ( X ) → F ( Y ) correspondiente a una biyección f : X → Y es el transporte de estructuras. Las topologías en Y corresponden biyectivamente a las topologías en X . Lo mismo se aplica a las estructuras de grupo, etc.
En particular, el conjunto de todas las estructuras de una especie dada en un conjunto dado es invariante bajo la acción del grupo de permutación en el conjunto de escala correspondiente S X , y es un punto fijo de la acción del grupo en otro conjunto de escala P ( S X ). Sin embargo, no todos los puntos fijos de esta acción corresponden a especies de estructuras. [detalles 5]
Dadas dos especies, Bourbaki define la noción de «procedimiento de deducción» (de una estructura de la segunda especie a partir de una estructura de la primera especie). [9] Un par de procedimientos de deducción mutuamente inversos conduce a la noción de «especie equivalente». [10]
Ejemplo. La estructura de un espacio topológico puede definirse como una topología de conjuntos abiertos o, alternativamente, como una topología de conjuntos cerrados . Los dos procedimientos de deducción correspondientes coinciden; cada uno reemplaza todos los subconjuntos dados de X por sus complementos . En este sentido, se trata de dos especies equivalentes.
En la definición general de Bourbaki, el procedimiento de deducción puede incluir un cambio de los conjuntos base principales, pero este caso no se trata aquí. En el lenguaje de la teoría de categorías se tiene el siguiente resultado.
Proposición. [10] La equivalencia entre dos especies de estructuras conduce a un isomorfismo natural entre los funtores correspondientes.
Sin embargo, en general, no todos los isomorfismos naturales entre estos funtores corresponden a equivalencias entre las especies. [detalles 6]
En la práctica, no se hace distinción entre especies equivalentes de estructuras. [10]
Por lo general, un texto basado en números naturales (por ejemplo, el artículo " número primo ") no especifica la definición utilizada de números naturales. Del mismo modo, un texto basado en espacios topológicos (por ejemplo, el artículo " homotopía " o " dimensión inductiva ") no especifica la definición utilizada de un espacio topológico. Por lo tanto, es posible (y bastante probable) que el lector y el autor interpreten el texto de manera diferente, según definiciones diferentes. Sin embargo, la comunicación es exitosa, lo que significa que esas definiciones diferentes pueden considerarse equivalentes.
Una persona familiarizada con los espacios topológicos conoce las relaciones básicas entre vecindad, convergencia, continuidad, límite, clausura, interioridad, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, y no necesita saber que algunas de estas nociones son "primarias", estipuladas en la definición de un espacio topológico, mientras que otras son "secundarias", caracterizadas en términos de nociones "primarias". Además, sabiendo que los subconjuntos de un espacio topológico son en sí mismos espacios topológicos, así como productos de espacios topológicos, la persona es capaz de construir algunos nuevos espacios topológicos independientemente de la definición.
Así, en la práctica, una topología de un conjunto se trata como un tipo de datos abstracto que proporciona todas las nociones (y constructores ) necesarios, pero oculta la distinción entre nociones "primarias" y "secundarias". Lo mismo se aplica a otros tipos de estructuras matemáticas. "Curiosamente, la formalización de estructuras en la teoría de conjuntos es una tarea similar a la formalización de estructuras para computadoras". [14]
Como se mencionó, la equivalencia entre dos especies de estructuras conduce a un isomorfismo natural entre los funtores correspondientes. Sin embargo, " natural " no significa " canónico ". Una transformación natural generalmente no es única.
Ejemplo. Consideremos de nuevo las dos estructuras equivalentes para los números naturales. Una es la "estructura de Peano" (0, S ), la otra es la estructura (+, ·, ≤) del semianillo ordenado. Si un conjunto X está dotado por ambas estructuras entonces, por un lado, X = { a 0 , a 1 , a 2 , ... } donde S ( a n ) = a n +1 para todo n y 0 = a 0 ; y por otro lado, X = { b 0 , b 1 , b 2 , ... } donde b m + n = b m + b n , b m · n = b m · b n , y b m ≤ b n si y sólo si m ≤ n . Requiriendo que a n = b n para todo n se obtiene la equivalencia canónica entre las dos estructuras. Sin embargo, también se puede exigir a 0 = b 1 , a 1 = b 0 y a n = b n para todo n > 1, obteniendo así otro isomorfismo natural no canónico. Además, cada permutación del conjunto de índices { 0, 1, 2, ... } conduce a un isomorfismo natural; ¡son incontables!
Otro ejemplo. La estructura de un grafo (simple) sobre un conjunto V = { 1, 2, ..., n } de vértices puede describirse por medio de su matriz de adyacencia , una matriz (0,1) de tamaño n × n (con ceros en la diagonal). De manera más general, para un valor arbitrario de V puede utilizarse una función de adyacencia sobre V × V. La equivalencia canónica viene dada por la regla: "1" significa "conectado" (con una arista), "0" significa "no conectado". Sin embargo, puede utilizarse otra regla, "0" significa "conectado", "1" significa "no", y conduce a otra equivalencia natural pero no canónica. En este ejemplo, la canonicidad es más bien una cuestión de convención. Pero aquí tenemos un caso peor. En lugar de "0" y "1" se pueden utilizar, por ejemplo, las dos orientaciones posibles del plano R 2 ("en el sentido de las agujas del reloj" y "en el sentido contrario a las agujas del reloj"). ¡Es difícil elegir una regla canónica en este caso!
"Natural" es una noción matemática bien definida, pero no garantiza la unicidad. "Canónico" sí lo hace, pero en general es más o menos convencional. Una elección consistente de equivalencias canónicas es un componente inevitable de las definiciones equivalentes de estructuras matemáticas.
{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ).