En matemáticas , dos objetos, especialmente sistemas de axiomas o semánticas para los mismos, se denominan criptomórficos si son equivalentes pero no obviamente equivalentes. En particular, dos definiciones o axiomatizaciones del mismo objeto son "criptomorfas" si no es obvio que definen el mismo objeto. Los ejemplos de definiciones criptomórficas abundan en la teoría matroide y se pueden encontrar otras en otros lugares, por ejemplo, en la teoría de grupos , la definición de un grupo mediante una sola operación de división, que obviamente no es equivalente a las tres "operaciones" habituales de elemento de identidad, inversa, y multiplicación.
Esta palabra es un juego de palabras con los muchos morfismos en matemáticas, pero "criptomorfismo" sólo tiene una relación muy lejana con " isomorfismo ", " homomorfismo " o "morfismos". La equivalencia puede en un criptomorfismo, si no es una identidad real, ser informal o puede formalizarse en términos de una biyección o equivalencia de categorías entre los objetos matemáticos definidos por los dos sistemas de axiomas criptomórficos.
La palabra fue acuñada por Garrett Birkhoff antes de 1967, para su uso en la tercera edición de su libro Lattice Theory . Birkhoff no dio una definición formal, aunque otros que trabajan en el campo han hecho algunos intentos desde entonces.
Su sentido informal fue popularizado (y ampliado enormemente en alcance) por Gian-Carlo Rota en el contexto de la teoría matroide : hay docenas de enfoques axiomáticos equivalentes a las matroides, pero dos sistemas diferentes de axiomas a menudo parecen muy diferentes.
En su libro de 1997 Pensamientos Indiscretos , Rota describe la situación de la siguiente manera:
Como muchas otras grandes ideas, la teoría matroide fue inventada por uno de los grandes pioneros estadounidenses, Hassler Whitney . Su artículo, que sigue siendo hoy la mejor entrada al tema, revela flagrantemente la peculiaridad única de este campo, a saber, la variedad excepcional de definiciones criptomórficas para una matroide, vergonzosamente sin relación entre sí y exhibiendo pedigríes matemáticos completamente diferentes. Es como si uno fuera a condensar todas las tendencias de las matemáticas actuales en una única estructura finita, una hazaña que cualquiera consideraría a priori imposible, si no fuera por el hecho de que las matroides existen.
Aunque hay muchos conceptos criptomórficos en matemáticas fuera de la teoría matroide y el álgebra universal , la palabra no ha tenido éxito entre los matemáticos en general. Sin embargo, su uso es bastante amplio entre los investigadores de la teoría matroide.