En matemáticas , existe una amplia oferta de dualidades categóricas entre ciertas categorías de espacios topológicos y categorías de conjuntos parcialmente ordenados . Hoy en día, estas dualidades suelen recopilarse bajo la etiqueta de dualidad de Stone , ya que forman una generalización natural del teorema de representación de Stone para las álgebras de Boole . Estos conceptos reciben su nombre en honor a Marshall Stone . Las dualidades de tipo Stone también proporcionan la base para la topología sin sentido y se explotan en la informática teórica para el estudio de la semántica formal .
Este artículo ofrece sugerencias sobre casos especiales de dualidad de Stone y explica en detalle un ejemplo muy general de la misma.
Probablemente la dualidad más general a la que se hace referencia clásicamente como "dualidad de Stone" es la dualidad entre la categoría Sob de espacios sobrios con funciones continuas y la categoría SFrm de marcos espaciales con homomorfismos de marco apropiados. La categoría dual de SFrm es la categoría de lugares espaciales denotados por SLoc . La equivalencia categórica de Sob y SLoc es la base para el área matemática de la topología sin sentido , que se dedica al estudio de Loc —la categoría de todos los lugares, de la cual SLoc es una subcategoría completa . Las construcciones involucradas son características para este tipo de dualidad, y se detallan a continuación.
Ahora se pueden obtener fácilmente otras dualidades restringiéndonos a ciertas clases especiales de espacios sobrios:
A estas dualidades básicas se podrían añadir muchas otras dualidades de tipo Piedra.
El punto de partida de la teoría es el hecho de que todo espacio topológico se caracteriza por un conjunto de puntos X y un sistema Ω( X ) de conjuntos abiertos de elementos de X , es decir, un subconjunto del conjunto potencia de X . Se sabe que Ω( X ) tiene ciertas propiedades especiales: es una red completa dentro de la cual la suprema y los ínfimos finitos están dados por las uniones de conjuntos y las intersecciones de conjuntos finitos, respectivamente. Además, contiene tanto a X como al conjunto vacío . Dado que la incrustación de Ω( X ) en la red del conjunto potencia de X preserva los ínfimos finitos y la suprema arbitraria, Ω( X ) hereda la siguiente ley de distributividad:
para cada elemento (conjunto abierto) x y cada subconjunto S de Ω( X ). Por lo tanto, Ω( X ) no es una red completa arbitraria sino un álgebra de Heyting completa (también llamada marco o configuración regional ; los diversos nombres se utilizan principalmente para distinguir varias categorías que tienen la misma clase de objetos pero diferentes morfismos: morfismos de marco, morfismos de configuración regional y homomorfismos de álgebras de Heyting completas). Ahora bien, una pregunta obvia es: ¿hasta qué punto un espacio topológico se caracteriza por su configuración regional de conjuntos abiertos?
Como ya se ha insinuado anteriormente, se puede ir incluso más allá. La categoría Top de los espacios topológicos tiene como morfismos las funciones continuas, donde una función f es continua si la imagen inversa f −1 ( O ) de cualquier conjunto abierto en el codominio de f es abierta en el dominio de f . Así, cualquier función continua f de un espacio X a un espacio Y define una aplicación inversa f −1 de Ω( Y ) a Ω( X ). Además, es fácil comprobar que f −1 (como cualquier aplicación imagen inversa) conserva intersecciones finitas y uniones arbitrarias y, por tanto, es un morfismo de marcos . Si definimos Ω( f ) = f −1 entonces Ω se convierte en un funtor contravariante de la categoría Top a la categoría Frm de marcos y morfismos de marcos. Utilizando las herramientas de la teoría de categorías, la tarea de encontrar una caracterización de los espacios topológicos en términos de sus redes de conjuntos abiertos es equivalente a encontrar un funtor de Frm a Top que sea adjunto a Ω.
El objetivo de esta sección es definir un funtor pt de Frm a Top que en cierto sentido "invierte" la operación de Ω asignando a cada localidad L un conjunto de puntos pt( L ) (de ahí la notación pt) con una topología adecuada. Pero ¿cómo podemos recuperar el conjunto de puntos sólo a partir de la localidad, aunque no se dé como un entramado de conjuntos? Es cierto que no se puede esperar en general que pt pueda reproducir todos los elementos originales de un espacio topológico sólo a partir de su entramado de conjuntos abiertos – por ejemplo, todos los conjuntos con la topología indiscreta producen (salvo isomorfismo) la misma localidad, de modo que la información sobre el conjunto específico ya no está presente. Sin embargo, todavía hay una técnica razonable para obtener "puntos" a partir de una localidad, que de hecho da un ejemplo de una construcción central para los teoremas de dualidad de tipo Stone.
Veamos primero los puntos de un espacio topológico X . Normalmente, se tiende a considerar un punto de X como un elemento x del conjunto X , pero, de hecho, existe una descripción más útil para nuestra investigación actual. Cualquier punto x da lugar a una función continua p x desde el espacio topológico de un elemento 1 (cuyos subconjuntos son abiertos) hasta el espacio X definiendo p x (1) = x . A la inversa, cualquier función de 1 a X determina claramente un punto: el elemento al que "apunta". Por lo tanto, el conjunto de puntos de un espacio topológico se caracteriza de forma equivalente como el conjunto de funciones de 1 a X .
Cuando se utiliza el funtor Ω para pasar de Top a Frm , se pierden todos los elementos de la teoría de conjuntos de un espacio, pero –utilizando una idea fundamental de la teoría de categorías– también se puede trabajar en los espacios de funciones . De hecho, cualquier "punto" p x : 1 → X en Top se mapea a un morfismo Ω( p x ): Ω( X ) → Ω(1). La red de conjuntos abiertos del espacio topológico de un elemento Ω(1) es simplemente (isomorfa a) la configuración regional de dos elementos 2 = { 0, 1 } con 0 < 1. Después de estas observaciones, parece razonable definir el conjunto de puntos de una configuración regional L como el conjunto de morfismos de marco de L a 2. Sin embargo, no hay garantía de que cada punto de la configuración regional Ω( X ) esté en correspondencia biunívoca con un punto del espacio topológico X (consideremos nuevamente la topología indiscreta, para la cual la red de conjuntos abiertos tiene solo un "punto").
Antes de definir la topología requerida en pt( X ), vale la pena aclarar más el concepto de un punto de una localidad. La perspectiva motivada anteriormente sugiere considerar un punto de una localidad L como un morfismo de marco p de L a 2. Pero estos morfismos se caracterizan de manera equivalente por las imágenes inversas de los dos elementos de 2. A partir de las propiedades de los morfismos de marco, se puede derivar que p −1 (0) es un conjunto inferior (ya que p es monótono ), que contiene un elemento mayor a p = V p −1 (0) (ya que p preserva suprema arbitraria). Además, el ideal principal p −1 (0) es un ideal primo ya que p preserva ínfima finito y, por lo tanto, el principal a p es un elemento primo-conocedor . Ahora, el conjunto inverso de p −1 (0) dado por p −1 (1) es un filtro completamente primo porque p −1 (0) es un ideal primo principal. Resulta que todas estas descripciones determinan de forma única el morfismo inicial del marco. Resumimos:
Todas estas descripciones tienen su lugar dentro de la teoría y es conveniente alternar entre ellas según sea necesario.
Ahora que hay un conjunto de puntos disponibles para cualquier configuración regional, queda equipar este conjunto con una topología apropiada para definir la parte de objeto del funtor pt. Esto se hace definiendo los conjuntos abiertos de pt( L ) como
para cada elemento a de L . Aquí consideramos los puntos de L como morfismos, pero por supuesto se puede enunciar una definición similar para todas las demás caracterizaciones equivalentes. Se puede demostrar que establecer Ω(pt( L )) = {φ( a ) | a ∈ L } realmente produce un espacio topológico (pt( L ), Ω(pt( L ))). Es común abreviar este espacio como pt( L ).
Finalmente, pt puede definirse sobre morfismos de Frm de manera bastante canónica definiendo, para un morfismo de marco g de L a M , pt( g ): pt( M ) → pt( L ) como pt( g )( p ) = p o g . En palabras, obtenemos un morfismo de L a 2 (un punto de L ) aplicando el morfismo g para llegar de L a M antes de aplicar el morfismo p que mapea de M a 2. Nuevamente, esto puede formalizarse utilizando las otras descripciones de puntos de una configuración regional también; por ejemplo, solo calcule ( p o g ) −1 (0).
Como se ha señalado varias veces antes, pt y Ω no suelen ser inversas. En general, ni X es homeomorfo a pt(Ω( X )) ni L es isomorfo en orden a Ω(pt( L )). Sin embargo, al introducir la topología de pt( L ) más arriba, se aplicó una aplicación φ de L a Ω(pt( L )). Esta aplicación es, de hecho, un morfismo de marco. A la inversa, podemos definir una función continua ψ de X a pt(Ω( X )) estableciendo ψ( x ) = Ω( p x ), donde p x es simplemente la función característica para el punto x de 1 a X como se ha descrito más arriba. Otra descripción conveniente se da al considerar los puntos de una configuración regional como elementos primos de encuentro. En este caso, tenemos ψ( x ) = X \ Cl{ x }, donde Cl{ x } denota el cierre topológico del conjunto { x } y \ es simplemente la diferencia de conjuntos.
En este punto ya tenemos datos más que suficientes para obtener el resultado deseado: los funtores Ω y pt definen una adjunción entre las categorías Top y Loc = Frm op , donde pt es adjunto derecho a Ω y las transformaciones naturales ψ y φ op proporcionan la unidad y counit requeridas, respectivamente.
La adjunción anterior no es una equivalencia de las categorías Top y Loc (o, equivalentemente, una dualidad de Top y Frm ). Para ello es necesario que tanto ψ como φ sean isomorfismos en sus respectivas categorías.
Para un espacio X , ψ: X → pt(Ω( X )) es un homeomorfismo si y solo si es biyectivo . Usando la caracterización a través de elementos primos de encuentro de la red de conjuntos abiertos, se ve que este es el caso si y solo si cada conjunto abierto primo de encuentro es de la forma X \ Cl{ x } para un único x . Alternativamente, cada conjunto cerrado primo de unión es la clausura de un único punto, donde "primo de unión" puede ser reemplazado por (irreducible de unión) ya que estamos en una red distributiva. Los espacios con esta propiedad se llaman sobrios .
Por el contrario, para una configuración regional L , φ: L → Ω(pt( L )) es siempre sobreyectiva. Es además inyectiva si y solo si dos elementos cualesquiera a y b de L para los que a no es menor o igual a b pueden separarse por puntos de la configuración regional, formalmente:
Si esta condición se cumple para todos los elementos de la configuración regional, entonces la configuración regional es espacial , o se dice que tiene suficientes puntos. (Véase también la categoría bien puntuada para una condición similar en categorías más generales).
Finalmente, se puede verificar que para cada espacio X , Ω( X ) es espacial y para cada localidad L , pt( L ) es sobrio. Por lo tanto, se sigue que la adjunción anterior de Top y Loc se restringe a una equivalencia de las subcategorías completas Sob de espacios sobrios y SLoc de localidades espaciales. Este resultado principal se completa con la observación de que para el funtor pt o Ω, enviar cada espacio a los puntos de su red de conjuntos abiertos es adjunto izquierdo al funtor de inclusión de Sob a Top . Para un espacio X , pt(Ω( X )) se llama su soberificación . El caso del funtor Ω o pt es simétrico, pero no se utiliza comúnmente un nombre especial para esta operación.
