Categoría regular

Mathematical category with finite limits and coequalizers

En teoría de categorías , una categoría regular es una categoría con límites finitos y coecualizadores de un par de morfismos llamados pares de núcleos , que satisfacen ciertas condiciones de exactitud . De esa manera, las categorías regulares recuperan muchas propiedades de las categorías abelianas , como la existencia de imágenes , sin requerir aditividad. Al mismo tiempo, las categorías regulares proporcionan una base para el estudio de un fragmento de la lógica de primer orden , conocida como lógica regular.

Definición

Una categoría C se llama regular si satisface las tres propiedades siguientes: ^[1]

• C es finitamente completo .
• Si f  :  X  →  Y es un morfismo en C , y

es un retroceso , entonces el coecualizador de p ₀ , p ₁ existe. El par ( p ₀ ,  p ₁ ) se llama par núcleo de f . Al ser un retroceso, el par de núcleos es único hasta un isomorfismo único .

• Si f  :  X  →  Y es un morfismo en C , y

es un retroceso, y si f es un epimorfismo regular , entonces g también es un epimorfismo regular. Un epimorfismo regular es un epimorfismo que aparece como un coecualizador de algún par de morfismos.

Ejemplos

Ejemplos de categorías regulares incluyen:

• Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones entre los conjuntos.
• De manera más general, todo topos elemental
• Grp , la categoría de grupos y homomorfismos de grupo.
• La categoría de anillos y homomorfismos de anillos.
• De manera más general, la categoría de modelos de cualquier variedad.
• Cada semirretícula de encuentro acotada , con morfismos dados por la relación de orden
• Cada categoría abeliana

Las siguientes categorías no son regulares:

• Arriba , la categoría de espacios topológicos y funciones continuas.
• Cat , la categoría de categorías pequeñas y funtores.

Factorización epi-mono

En una categoría regular, los epimorfismos regulares y los monomorfismos forman un sistema de factorización . Cada morfismo f:X→Y se puede factorizar en un epimorfismo regular e:X→E seguido de un monomorfismo m:E→Y , de modo que f=me . La factorización es única en el sentido de que si e':X→E' es otro epimorfismo regular y m':E'→Y es otro monomorfismo tal que f=m'e' , entonces existe un isomorfismo h:E→E ' tal que he=e' y m'h=m . El monomorfismo m se llama imagen de f .

Secuencias exactas y funtores regulares.

En una categoría regular, se dice que un diagrama de la forma es una secuencia exacta si es a la vez un coecualizador y un par de núcleos. La terminología es una generalización de secuencias exactas en álgebra homológica : en una categoría abeliana , un diagrama ${\displaystyle R\rightrightarrows X\to Y}$

${\displaystyle R\;{\overset {r}{\underset {s}{\rightrightarrows }}}\;X\xrightarrow {f} Y}$

es exacta en este sentido si y sólo si es una secuencia corta y exacta en el sentido habitual. ${\displaystyle 0\to R{\xrightarrow {(r,s)}}X\oplus X{\xrightarrow {(f,-f)}}Y\to 0}$

Un funtor entre categorías regulares se llama regular si conserva límites finitos y coecualizadores de pares de núcleos. Un functor es regular si y sólo si conserva límites finitos y secuencias exactas. Por esta razón, a los functores regulares a veces se les llama funtores exactos . A menudo se dice que los funtores que conservan límites finitos se dejan exactos .

Lógica regular y categorías regulares.

La lógica regular es el fragmento de lógica de primer orden que puede expresar enunciados de la forma

${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$,

donde y son fórmulas regulares, es decir, fórmulas construidas a partir de fórmulas atómicas , la constante de verdad, los encuentros binarios (conjunción) y la cuantificación existencial . Tales fórmulas se pueden interpretar en una categoría regular, y la interpretación es un modelo de secuente , si la interpretación de factores a través de la interpretación de . ^[2] Esto da para cada teoría (conjunto de secuentes) T y para cada categoría regular C una categoría Mod ( T ,C) de modelos de T en C. Esta construcción proporciona un funtor Mod ( T ,-): RegCat → Cat de la categoría RegCat de categorías regulares pequeñas y funtores regulares para categorías pequeñas. Es un resultado importante que para cada teoría T existe una categoría regular R(T) , tal que para cada categoría regular C existe una equivalencia ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \forall x(\phi (x)\to \psi (x))}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {Mod} (T,C)\cong \mathbf {RegCat} (R(T),C)}$,

que es natural en C . Aquí, R(T) se denomina categoría clasificadora de la teoría regular T. Hasta la equivalencia, cualquier pequeña categoría regular surge de esta manera como categoría clasificadora de alguna teoría regular. ^[2]

Categorías exactas (efectivas)

La teoría de las relaciones de equivalencia es una teoría regular. Una relación de equivalencia sobre un objeto de una categoría regular es un monomorfismo que satisface las interpretaciones de las condiciones de reflexividad, simetría y transitividad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$

Cada par de núcleos define una relación de equivalencia . Por el contrario, se dice que una relación de equivalencia es efectiva si surge como un par de núcleos. ^[3] Una relación de equivalencia es efectiva si y sólo si tiene un coecualizador y es el par núcleo de este. ${\displaystyle p_{0},p_{1}:R\rightarrow X}$ ${\displaystyle R\rightarrow X\times X}$

Se dice que una categoría regular es exacta , o exacta en el sentido de Barr , o regular efectiva , si toda relación de equivalencia es efectiva. ^[4] (Tenga en cuenta que el término "categoría exacta" también se usa de manera diferente, para las categorías exactas en el sentido de Quillen ).

Ejemplos de categorías exactas

• La categoría de conjuntos es exacta en este sentido, al igual que cualquier topos (elemental) . Cada relación de equivalencia tiene un coecualizador, que se encuentra tomando clases de equivalencia .
• Cada categoría abeliana es exacta.
• Toda categoría que es monádica sobre la categoría de conjuntos es exacta.
• La categoría de espacios de Piedra es regular, pero no exacta.

Ver también

• Alegoría (teoría de categorías)
• topos
• Finalización exacta

Referencias

1. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 177
2. Butz, Carsten (1998). "Categorías regulares y lógica regular". Serie de conferencias BRICS LS-98-2.
3. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 169
4. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 179

• Barr, Michael ; Grillet, Pierre A.; van Osdol, Donovan H. (2006) [1971]. Categorías exactas y categorías de poleas. Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 236. Saltador. ISBN 978-3-540-36999-8.
• Borceux, Francisco (1994). Manual de álgebra categórica. vol. 2. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-44179-X.
• Falta, Stephen (1999). "Una nota sobre la finalización exacta de una categoría regular y sus generalizaciones infinitas". Teoría y Aplicaciones de Categorías . 5 (3): 70–80.
• van Oosten, Jaap (1995). "Teoría básica de categorías" (PDF) . Universidad de Aarhus. Serie de conferencias BRICS LS-95-1.
• Pedicchio, María Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales de orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 97. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.