Secuencia exacta

Secuencia de homomorfismos tales que cada núcleo es igual a la imagen precedente

Ilustración de una secuencia exacta de grupos utilizando diagramas de Euler . ${\displaystyle G_{i}}$

Una secuencia exacta es una secuencia de morfismos entre objetos (por ejemplo, grupos , anillos , módulos y, más generalmente, objetos de una categoría abeliana ) tales que la imagen de un morfismo es igual al núcleo del siguiente.

Definición

En el contexto de la teoría de grupos, una secuencia

${\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;G_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;G_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;G_{n}}$

Se dice que la sucesión de grupos y homomorfismos de grupos es exacta en si . La sucesión se llama exacta si es exacta en cada uno para todos , es decir, si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i<n}$

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos . De manera más general, la noción de una secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con núcleos y conúcleos , y más especialmente en categorías abelianas , donde se usa ampliamente.

Casos sencillos

Para entender la definición, es útil considerar casos relativamente simples en los que la secuencia es de homomorfismos de grupos, es finita y comienza o termina con el grupo trivial . Tradicionalmente, esto, junto con el elemento de identidad único, se denota como 0 (notación aditiva, generalmente cuando los grupos son abelianos) o como 1 (notación multiplicativa).

• Consideremos la secuencia 0 → A → B. La imagen de la función más a la izquierda es 0. Por lo tanto, la secuencia es exacta si y solo si la función más a la derecha (de A a B ) tiene núcleo {0}; es decir, si y solo si esa función es un monomorfismo (inyectivo o uno a uno).
• Considérese la secuencia dual B → C → 0. El núcleo de la función más a la derecha es C . Por lo tanto, la secuencia es exacta si y solo si la imagen de la función más a la izquierda (de B a C ) es todo C ; es decir, si y solo si esa función es un epimorfismo (sobreyectivo o sobreyectivo).
• Por lo tanto, la secuencia 0 → X → Y → 0 es exacta si y sólo si la función de X a Y es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo (es decir, un bimorfismo ), y por lo tanto usualmente un isomorfismo de X a Y (esto siempre se cumple en categorías exactas como Conjunto ).

Secuencia corta y exacta

Las secuencias exactas cortas son secuencias exactas de la forma

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0.}$

Como se estableció anteriormente, para cualquier secuencia exacta corta, f es un monomorfismo y g es un epimorfismo. Además, la imagen de f es igual al núcleo de g . Es útil pensar en A como un subobjeto de B con f que incorpora A en B , y en C como el objeto factor correspondiente (o cociente ), B / A , con g que induce un isomorfismo.

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)=B/\operatorname {ker} (g)}$

La secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\to A\xrightarrow {f} B\xrightarrow {g} C\to 0\,}$

se dice que está escindido si existe un homomorfismo h  : C → B tal que la composición g ∘ h es la función identidad en C . De ello se deduce que si se trata de grupos abelianos , B es isomorfo a la suma directa de A y C :

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

Secuencia larga y exacta

A una secuencia exacta general a veces se la denomina secuencia exacta larga , para distinguirla del caso especial de una secuencia exacta corta. ^[1]

Una secuencia exacta larga es equivalente a una familia de secuencias exactas cortas en el siguiente sentido: Dada una secuencia larga

${\displaystyle A_{0}\;\xrightarrow {\ f_{1}\ } \;A_{1}\;\xrightarrow {\ f_{2}\ } \;A_{2}\;\xrightarrow {\ f_{3}\ } \;\cdots \;\xrightarrow {\ f_{n}\ } \;A_{n},}$(1)

con n ≥ 2, podemos dividirlo en secuencias cortas

${\displaystyle {\begin{aligned}0\rightarrow K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow 0,\\0\rightarrow K_{2}\rightarrow {}&A_{2}\rightarrow K_{3}\rightarrow 0,\\&\ \,\vdots \\0\rightarrow K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow K_{n}\rightarrow 0,\\\end{aligned}}}$(2)

donde para cada . Por construcción, las secuencias (2) son exactas en el s (sin importar la exactitud de (1) ). Además, (1) es una secuencia exacta larga si y solo si (2) son todas secuencias exactas cortas. ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K_{i}}$

Consulte el lema de tejido para obtener detalles sobre cómo reformar la secuencia exacta larga a partir de las secuencias exactas cortas.

Ejemplos

Números enteros módulo dos

Consideremos la siguiente secuencia de grupos abelianos:

${\displaystyle \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\,\hookrightarrow }} \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

El primer homomorfismo asigna cada elemento i en el conjunto de enteros Z al elemento 2 i en Z . El segundo homomorfismo asigna cada elemento i en Z a un elemento j en el grupo de cocientes; es decir, j = i mod 2 . Aquí la flecha en forma de gancho indica que la función 2× de Z a Z es un monomorfismo, y la flecha de dos puntas indica un epimorfismo (la función mod 2 ). Esta es una secuencia exacta porque la imagen 2 Z del monomorfismo es el núcleo del epimorfismo. Esencialmente, "la misma" secuencia también se puede escribir como ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$

${\displaystyle 2\mathbf {Z} \mathrel {\,\hookrightarrow } \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

En este caso el monomorfismo es 2 n ↦ 2 n y aunque parece una función identidad, no es sobreyectiva (es decir, no es un epimorfismo) porque los números impares no pertenecen a 2 Z . La imagen de 2 Z a través de este monomorfismo es, sin embargo, exactamente el mismo subconjunto de Z que la imagen de Z a través de n ↦ 2 n utilizada en la secuencia anterior. Esta última secuencia difiere en la naturaleza concreta de su primer objeto de la anterior ya que 2 Z no es el mismo conjunto que Z aunque los dos sean isomorfos como grupos.

La primera secuencia también puede escribirse sin utilizar símbolos especiales para monomorfismo y epimorfismo:

${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\overset {2\times }{\longrightarrow }} \mathbf {Z} \longrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}$

Aquí 0 denota el grupo trivial, la función de Z a Z es la multiplicación por 2, y la función de Z al grupo factorial Z /2 Z se obtiene reduciendo números enteros módulo 2. Esta es, de hecho, una secuencia exacta:

• La imagen del mapa 0 → Z es {0}, y el núcleo de la multiplicación por 2 también es {0}, por lo que la secuencia es exacta en el primer Z.
• la imagen de la multiplicación por 2 es 2 Z , y el núcleo de reducción módulo 2 también es 2 Z , por lo que la secuencia es exacta en el segundo Z .
• La imagen de reducción módulo 2 es Z /2 Z , y el núcleo del mapa cero también es Z /2 Z , por lo que la secuencia es exacta en la posición Z /2 Z .

Las secuencias primera y tercera son un caso especial debido a la naturaleza infinita de Z . No es posible que un grupo finito se represente por inclusión (es decir, por un monomorfismo) como un subgrupo propio de sí mismo. En cambio, la secuencia que surge del primer teorema de isomorfismo es

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

(aquí se denota el grupo trivial ya que no se supone que estos grupos sean abelianos ). ${\displaystyle 1,}$

Como ejemplo más concreto de una secuencia exacta en grupos finitos:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

donde es el grupo cíclico de orden n y es el grupo diedro de orden 2 n , que es un grupo no abeliano. ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{2n}}$

Intersección y suma de módulos

Sean I y J dos ideales de un anillo R . Entonces

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

es una secuencia exacta de R -módulos, donde el homomorfismo del módulo asigna cada elemento x de al elemento ⁠ ⁠ de la suma directa , y el homomorfismo asigna cada elemento ⁠ ⁠ de a ⁠ ⁠ . ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$ ${\displaystyle I\cap J}$ ${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$ ${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle I\oplus J}$ ${\displaystyle x-y}$

Estos homomorfismos son restricciones de homomorfismos definidos de manera similar que forman la secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

Pasando a módulos cocientes se obtiene otra secuencia exacta

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$

Propiedades

El lema de división establece que, para una secuencia corta y exacta

${\displaystyle 0\to A\;\xrightarrow {\ f\ } \;B\;\xrightarrow {\ g\ } \;C\to 0,}$Las siguientes condiciones son equivalentes.

• Existe un morfismo t  : B → A tal que t ∘ f es la identidad en A .
• Existe un morfismo u : C → B tal que g ∘ u es la identidad en C .
• Existe un morfismo u : C → B tal que B es la suma directa de f ( A ) y u ( C ) .

Para los grupos no conmutativos, el lema de división no se aplica, y solo se tiene la equivalencia entre las dos últimas condiciones, con "la suma directa" reemplazada por "un producto semidirecto ".

En ambos casos se dice que una secuencia tan corta y exacta se divide .

El lema de la serpiente muestra cómo un diagrama conmutativo con dos filas exactas da lugar a una secuencia exacta más larga. El lema del noveno es un caso especial.

El lema cinco da condiciones bajo las cuales la función intermedia en un diagrama conmutativo con filas exactas de longitud 5 es un isomorfismo; el lema cinco corto es un caso especial del mismo que se aplica a secuencias exactas cortas.

Lema del tejido

La importancia de las secuencias exactas cortas se ve subrayada por el hecho de que cada secuencia exacta resulta de "entretejer" varias secuencias exactas cortas superpuestas. Consideremos, por ejemplo, la secuencia exacta

${\displaystyle A_{1}\to A_{2}\to A_{3}\to A_{4}\to A_{5}\to A_{6}}$

lo que implica que existen objetos C _k en la categoría tales que

${\displaystyle C_{k}\cong \ker(A_{k}\to A_{k+1})\cong \operatorname {im} (A_{k-1}\to A_{k})}$.

Supongamos además que el co-núcleo de cada morfismo existe y es isomorfo a la imagen del siguiente morfismo en la secuencia:

${\displaystyle C_{k}\cong \operatorname {coker} (A_{k-2}\to A_{k-1})}$

(Esto es cierto para varias categorías interesantes, incluyendo cualquier categoría abeliana como los grupos abelianos; pero no es cierto para todas las categorías que permiten secuencias exactas, y en particular no es cierto para la categoría de grupos , en la que coker( f ) : G → H no es H /im( f ) sino , el cociente de H por el cierre conjugado de im( f ).) Entonces obtenemos un diagrama conmutativo en el que todas las diagonales son secuencias exactas cortas: ${\displaystyle H/{\left\langle \operatorname {im} f\right\rangle }^{H}}$

La única parte de este diagrama que depende de la condición de cokernel es el objeto y el par final de morfismos . Si existe algún objeto y morfismo tal que sea exacto, entonces la exactitud de está asegurada. Tomando nuevamente el ejemplo de la categoría de grupos, el hecho de que im( f ) sea el núcleo de algún homomorfismo en H implica que es un subgrupo normal , lo que coincide con su clausura conjugada; por lo tanto, coker( f ) es isomorfo a la imagen H /im( f ) del siguiente morfismo. ${\textstyle C_{7}}$ ${\textstyle A_{6}\to C_{7}\to 0}$ ${\displaystyle A_{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k}\to A_{k+1}}$ ${\displaystyle A_{k-1}\to A_{k}\to A_{k+1}}$ ${\displaystyle 0\to C_{k}\to A_{k}\to C_{k+1}\to 0}$

Por el contrario, dada cualquier lista de secuencias exactas cortas superpuestas, sus términos intermedios forman una secuencia exacta de la misma manera.

Aplicaciones de sucesiones exactas

En la teoría de categorías abelianas, a menudo se utilizan secuencias exactas cortas como un lenguaje conveniente para hablar sobre subobjetos y objetos factoriales.

El problema de extensión es esencialmente la pregunta "Dados los términos finales A y C de una secuencia exacta corta, ¿qué posibilidades existen para el término medio B ?" En la categoría de grupos, esto es equivalente a la pregunta, ¿qué grupos B tienen A como subgrupo normal y C como el grupo factorial correspondiente? Este problema es importante en la clasificación de grupos . Véase también Grupo de automorfismo externo .

Nótese que en una secuencia exacta, la composición f _{i +1} ∘ f _i mapea A _i a 0 en A _{i +2} , por lo que cada secuencia exacta es un complejo de cadena . Además, solo las f _i -imágenes de elementos de A _i se mapean a 0 por f _{i +1} , por lo que la homología de este complejo de cadena es trivial. Más sucintamente:

Las secuencias exactas son precisamente aquellos complejos de cadenas que son acíclicos .

Dado cualquier complejo de cadena, su homología puede considerarse como una medida del grado en el cual no es exacto.

Si tomamos una serie de sucesiones cortas exactas unidas por complejos de cadena (es decir, una sucesión corta exacta de complejos de cadena, o desde otro punto de vista, un complejo de cadena de sucesiones cortas exactas), entonces podemos derivar de esto una sucesión larga exacta (es decir, una sucesión exacta indexada por los números naturales) sobre homología por aplicación del lema del zigzag . Aparece en topología algebraica en el estudio de la homología relativa ; la sucesión de Mayer-Vietoris es otro ejemplo. Las sucesiones largas exactas inducidas por sucesiones cortas exactas también son características de los funtores derivados .

Los funtores exactos son funtores que transforman secuencias exactas en secuencias exactas.

Referencias

Citas

1. "secuencia exacta en nLab, Observación 2.3". ncatlab.org . Consultado el 5 de septiembre de 2021 .

Fuentes

• Spanier, Edwin Henry (1995). Topología algebraica . Berlín: Springer. pag. 179.ISBN​ 0-387-94426-5.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa: con vistas a la geometría algebraica . Springer-Verlag, Nueva York. pág. 785. ISBN. 0-387-94269-6.