Módulo de cociente

Construcción algebraica

En álgebra , dados un módulo y un submódulo , se puede construir su módulo cociente . ^{[1] [2]} Esta construcción, descrita a continuación, es muy similar a la de un espacio vectorial cociente . ^[3] Se diferencia de las construcciones cocientes análogas de anillos y grupos por el hecho de que en estos casos, el subespacio que se utiliza para definir el cociente no es de la misma naturaleza que el espacio ambiente (es decir, un anillo cociente es el cociente de un anillo por un ideal , no un subanillo , y un grupo cociente es el cociente de un grupo por un subgrupo normal , no por un subgrupo general ).

Dado un módulo A sobre un anillo R , y un submódulo B de A , el espacio cociente A / B está definido por la relación de equivalencia

${\displaystyle a\sim b}$ Si y sólo si ${\displaystyle b-a\in B,}$

para cualquier a, b en A. ^[4] Los elementos de A / B son las clases de equivalencia . La función que envía a en A a su clase de equivalencia a + B se llama mapa cociente o mapa de proyección , y es un homomorfismo de módulo . ${\displaystyle [a]=a+B=\{a+b:b\in B\}.}$ ${\displaystyle \pi :A\to A/B}$

La operación de adición de A / B se define para dos clases de equivalencia como la clase de equivalencia de la suma de dos representantes de estas clases; y la multiplicación escalar de elementos de A / B por elementos de R se define de manera similar. Nótese que se debe demostrar que estas operaciones están bien definidas . Entonces A / B se convierte en un módulo R , llamado módulo cociente . En símbolos, para todo a, b en A y r en R :

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a+B)+(b+B):=(a+b)+B,\\&r\cdot (a+B):=(r\cdot a)+B.\end{aligned}}}$

Ejemplos

Consideremos el anillo polinomial , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ con coeficientes reales y el ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ -módulo . Consideremos el submódulo ${\displaystyle A=\mathbb {R} [X],}$

${\displaystyle B=(X^{2}+1)\mathbb {R} [X]}$

de A , es decir, el submódulo de todos los polinomios divisibles por X ² + 1 . De ello se deduce que la relación de equivalencia determinada por este módulo será

P ( X ) ~ Q ( X ) si y sólo si P ( X ) y Q ( X ) dan el mismo resto cuando se dividen por X ² + 1 .

Por lo tanto, en el módulo cociente A / B , X ² + 1 es igual a 0; por lo que se puede ver A / B como obtenido de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ al establecer X ² + 1 = 0 . Este módulo cociente es isomorfo a los números complejos , vistos como un módulo sobre los números reales ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Véase también

• Grupo de cocientes
• Anillo de cociente
• Cociente (álgebra universal)

Referencias

1. Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
2. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.
3. Roman, Steven (2008). Álgebra lineal avanzada (3.ª ed.). Nueva York: Springer Science + Business Media. pág. 117. ISBN 978-0-387-72828-5.
4. Roman 2008, pág. 118 Teorema 4.7