funtor exacto

Funtor que conserva secuencias cortas exactas.

En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , un funtor exacto es un funtor que conserva secuencias exactas cortas . Los functores exactos son convenientes para los cálculos algebraicos porque pueden aplicarse directamente a presentaciones de objetos. Gran parte del trabajo en álgebra homológica está diseñado para hacer frente a functores que no logran ser exactos, pero que aún pueden controlarse.

Definiciones

Sean P y Q categorías abelianas , y sea F : P → Q un funtor aditivo covariante (de modo que, en particular, F (0) = 0). Decimos que F es un functor exacto si siempre

${\displaystyle 0\to A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

es una secuencia exacta corta en P entonces

${\displaystyle 0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0}$

es una secuencia exacta corta en Q . (Los mapas a menudo se omiten e implican, y uno dice: "si 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 también es exacto " .)

Además, decimos que F es

• exacto a la izquierda si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) es exacto;
• exacto a la derecha si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 es exacto;
• medio exacto si siempre que 0 → A → B → C → 0 es exacto, entonces F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) es exacto. Esto es distinto de la noción de funtor topológico semiexacto .

Si G es un funtor aditivo contravariante de P a Q , de manera similar definimos G como

• exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 es exacto;
• exacto a la izquierda si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces 0→ G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) es exacto;
• exacto a la derecha si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 es exacto;
• medio exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) es exacto.

No siempre es necesario comenzar con una secuencia exacta corta completa 0→ A → B → C →0 para conservar cierta exactitud. Las siguientes definiciones son equivalentes a las dadas anteriormente:

• F es exacta si y sólo si A → B → C exacta implica F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) exacta;
• F es exacto a la izquierda si y sólo si 0→ A → B → C exacto implica 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exacto (es decir, si " F convierte granos en granos");
• F es exacto a la derecha si y sólo si A → B → C →0 exacto implica F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 exacto (es decir, si " F convierte granos en granos");
• G es exacto a la izquierda si y sólo si A → B → C →0 exacto implica 0 → G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) exacto (es decir, si " G convierte los granos en granos");
• G es exacto a la derecha si y sólo si 0→ A → B → C exacto implica G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 exacto (es decir, si " G convierte los granos en coquelas").

Ejemplos

Toda equivalencia o dualidad de categorías abelianas es exacta.

Los ejemplos más básicos de funtores exactos por la izquierda son los functores Hom : si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) define un functor covariante exacto por la izquierda de A a la categoría Ab de grupos abelianos . ^[1] El funtor F _A es exacto si y sólo si A es proyectivo . ^[2] El funtor G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) es un funtor contravariante exacto a la izquierda; ^[3] es exacto si y sólo si A es inyectivo . ^[4]

Si k es un campo y V es un espacio vectorial sobre k , escribimos V  * = Hom _k ( V , k ) (esto se conoce comúnmente como espacio dual ). Esto produce un functor exacto contravariante de la categoría de k -espacios vectoriales hacia sí mismo. (La exactitud se deduce de lo anterior: k es un módulo k inyectivo . Alternativamente, se puede argumentar que cada secuencia exacta corta de k espacios vectoriales se divide , y cualquier funtor aditivo convierte las secuencias divididas en secuencias divididas).

Si X es un espacio topológico , podemos considerar la categoría abeliana de todos los haces de grupos abelianos en X. El functor covariante que asocia a cada haz F el grupo de secciones globales F ( X ) es exacto a la izquierda.

Si R es un anillo y T es un módulo R derecho , podemos definir un funtor H _T de la categoría abeliana de todos los módulos R izquierdos hasta Ab usando el producto tensorial sobre R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Este es un funtor exacto covariante derecho; en otras palabras, dada una secuencia exacta A → B → C →0 de R módulos izquierdos, la secuencia de grupos abelianos T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 es exacta.

El funtor H _T es exacto si y sólo si T es plano . Por ejemplo, es un módulo plano. Por lo tanto, tensar con un módulo es un funtor exacto. Prueba: basta con demostrar que si i es un mapa inyectivo de -módulos , entonces el mapa correspondiente entre los productos tensoriales es inyectivo. Se puede demostrar que si y sólo si es un elemento de torsión o . Los productos tensoriales dados sólo tienen tensores puros. Por lo tanto, basta con demostrar que si hay un tensor puro en el núcleo , entonces es cero. Supongamos que es un elemento del núcleo. Entonces, es torsión. Como es inyectivo, es torsión. Por lo tanto, . Por tanto, también es inyectivo. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle i:M\to N}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle m\otimes q}$ ${\displaystyle i(m)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\otimes q=0}$ ${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$

En general, si T no es plano, entonces el producto tensorial no queda exacto. Por ejemplo, considere la secuencia corta y exacta de -modules . Al tensar con se obtiene una secuencia que ya no es exacta, ya que no está libre de torsión y, por tanto, no es plana. ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle 5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$

Si A es una categoría abeliana y C es una categoría pequeña arbitraria , podemos considerar la categoría de funtores A ^C que consta de todos los funtores de C a A ; es abeliano. Si X es un objeto dado de C , entonces obtenemos un funtor _EX de A C ^a A evaluando funtores en X. Este funtor E _X es exacto.

Si bien es posible que el tensor no sea exacto a la izquierda, se puede demostrar que el tensor es un funtor exacto a la derecha:

Teorema: Sean A , B , C y P R -módulos para un anillo conmutativo R que tiene identidad multiplicativa. Sea una secuencia corta y exacta de R -módulos. Entonces ${\displaystyle A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$

${\displaystyle A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0}$

También es una secuencia corta y exacta de R -módulos. (Dado que R es conmutativo, esta secuencia es una secuencia de R -módulos y no simplemente de grupos abelianos). Aquí definimos

${\displaystyle f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$.

Esto tiene un corolario útil : si I es un ideal de R y P es como el anterior, entonces . ${\displaystyle P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP}$

Prueba: , donde f es la inclusión y g es la proyección, es una secuencia exacta de R -módulos. De lo anterior obtenemos que: también es una secuencia corta y exacta de R -módulos. Por exactitud, , ya que f es la inclusión. Ahora, considere el homomorfismo del módulo R dado por R que extiende linealmente el mapa definido en tensores puros: implica que . Por lo tanto, el núcleo de este mapa no puede contener tensores puros distintos de cero. se compone únicamente de tensores puros: Para . Entonces, este mapa es inyectivo. Está claramente en lo cierto . Entonces, . Similarmente, . Esto prueba el corolario. ${\displaystyle I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0}$ ${\displaystyle R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\rightarrow P}$ ${\displaystyle r\otimes p\mapsto rp.rp=0}$ ${\displaystyle 0=rp\otimes 1=r\otimes p}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P}$ ${\displaystyle x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$ ${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

Como otra aplicación, mostramos que para, donde y n es la potencia más alta de 2 que divide m . Probamos un caso especial: m =12. ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle k=m/2^{n}}$

Prueba: Considere un tensor puro . También por . Esto muestra que . Dejemos que A , B, C, P sean módulos R = Z por la acción de multiplicación habitual y satisfagan las condiciones del teorema principal . Por la exactitud implícita en el teorema y en la nota anterior obtenemos que . La última congruencia sigue por un argumento similar al de la prueba del corolario que muestra que . ${\displaystyle (12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$ ${\displaystyle (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})}$ ${\displaystyle (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)}$ ${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle :\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P}$ ${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$

Propiedades y teoremas

Un funtor es exacto si y sólo si es exacto a la izquierda y a la derecha.

Un functor covariante (no necesariamente aditivo) se deja exacto si y sólo si convierte límites finitos en límites; un funtor covariante es exacto si y sólo si convierte colimits finitos en colimits; un funtor contravariante se deja exacto si convierte colimits finitos en límites; un funtor contravariante es exacto si convierte límites finitos en colimites.

El grado en que un funtor exacto izquierdo deja de ser exacto se puede medir con sus funtores derivados derechos ; el grado en que un funtor exacto derecho no es exacto se puede medir con sus funtores derivados izquierdos .

Los functores exactos izquierdo y derecho son ubicuos principalmente debido al siguiente hecho: si el funtor F es adjunto a la izquierda de G , entonces F es exacto a la derecha y G es exacto a la izquierda.

Generalizaciones

En SGA4 , tomo I, sección 1, la noción de functores exactos izquierdo (derecho) se define para categorías generales, y no solo para las abelianas. La definición es la siguiente:

Sea C una categoría con límites proyectivos (o inyectivos) finitos. Entonces, un funtor de C a otra categoría C′ es exacto a la izquierda (o a la derecha) si conmuta con límites proyectivos (o inductivos) finitos.

A pesar de su abstracción, esta definición general tiene consecuencias útiles. Por ejemplo, en la sección 1.8, Grothendieck demuestra que un functor es pro-representable si y sólo si se deja exacto, bajo algunas condiciones leves en la categoría C.

Los functores exactos entre las categorías exactas de Quillen generalizan los funtores exactos entre las categorías abelianas discutidas aquí.

Los funtores regulares entre categorías regulares a veces se denominan funtores exactos y generalizan los funtores exactos que se analizan aquí.

Notas

1. Jacobson (2009), pág. 98, Teorema 3.1.
2. Jacobson (2009), pág. 149, Proposición 3.9.
3. Jacobson (2009), pág. 99, Teorema 3.1.
4. Jacobson (2009), pág. 156.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . vol. 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.