En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría aditiva es una categoría preaditiva C que admite todos los biproductos finitos .
Hay dos definiciones equivalentes de una categoría aditiva: una como categoría equipada con estructura adicional y otra como categoría equipada sin estructura adicional pero cuyos objetos y morfismos satisfacen ciertas ecuaciones.
Una categoría C es preaditiva si todos sus conjuntos de hom-conjuntos son grupos abelianos y la composición de morfismos es bilineal ; en otras palabras, C se enriquece sobre la categoría monoidal de grupos abelianos.
En una categoría preaditiva, todo producto finito (incluido el producto vacío, es decir, un objeto final ) es necesariamente un coproducto (u objeto inicial en el caso de un diagrama vacío) y, por tanto, un biproducto , y a la inversa , todo coproducto finito es necesariamente un producto (esto es una consecuencia de la definición, no una parte de ella).
Por lo tanto, una categoría aditiva se describe de manera equivalente como una categoría preaditiva que admite todos los productos finitos, o una categoría preaditiva que admite todos los coproductos finitos.
Damos una definición alternativa.
Defina una categoría semiaditiva como una categoría (nota: no una categoría preaditiva) que admite un objeto cero y todos los biproductos binarios . Es entonces un teorema notable que los conjuntos de Hom admiten naturalmente una estructura monoide abeliana . Una prueba de este hecho se da a continuación.
Una categoría aditiva puede entonces definirse como una categoría semiaditiva en la que cada morfismo tiene un inverso aditivo . Esto le da a los conjuntos Hom una estructura de grupo abeliano en lugar de simplemente una estructura monoide abeliana.
De manera más general, también se consideran categorías lineales R aditivas para un anillo conmutativo R. Estas son categorías enriquecidas sobre la categoría monoidal de módulos R y que admiten todos los biproductos finitarios .
El ejemplo original de una categoría aditiva es la categoría de grupos abelianos Ab . El objeto cero es el grupo trivial , la suma de morfismos se da puntualmente y los biproductos se dan mediante sumas directas .
De manera más general, cada categoría de módulo sobre un anillo R es aditiva y, en particular, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K es aditiva.
El álgebra de matrices sobre un anillo, considerada una categoría como se describe a continuación, también es aditiva.
Sea C una categoría semiaditiva, es decir, una categoría que tiene todos los biproductos finitos. Entonces cada hom-set tiene una adición, dotándolo de la estructura de un monoide abeliano , y tal que la composición de morfismos es bilineal.
Además, si C es aditivo, entonces las dos sumas en los conjuntos de hogares deben concordar. En particular, una categoría semiaditiva es aditiva si y sólo si cada morfismo tiene un inverso aditivo.
Esto muestra que la ley de la suma para una categoría de aditivos es interna a esa categoría. [1]
Para definir la ley de la suma, usaremos la convención de que para un biproducto, p k denotará los morfismos de proyección y i k denotará los morfismos de inyección.
Para cada objeto A , definimos:
Entonces, para k = 1, 2 , tenemos p k ∘ ∆ = 1 A y ∇ ∘ i k = 1 A .
A continuación, dados dos morfismos α k : A → B , existe un morfismo único α 1 ⊕ α 2 : A ⊕ A → B ⊕ B tal que p l ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ i k es igual a α k si k = l y 0 en caso contrario.
Por lo tanto podemos definir α 1 + α 2 := ∇ ∘ (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ ∆ .
Esta suma es tanto conmutativa como asociativa. La asociatividad se puede ver considerando la composición.
Tenemos α + 0 = α , usando eso α ⊕ 0 = i 1 ∘ α ∘ p 1 .
También es bilineal, usando por ejemplo que ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ y que (α 1 ⊕ α 2 ) ∘ (β 1 ⊕ β 2 ) = (α 1 ∘ β 1 ) ⊕ (α 2 ∘ β2 ) .
Observamos que para un biproducto A ⊕ B tenemos i 1 ∘ p 1 + i 2 ∘ p 2 = 1 . Usando esto, podemos representar cualquier morfismo A ⊕ B → C ⊕ D como una matriz.
Dados los objetos A 1 , ..., A n y B 1 , ..., B m en una categoría aditiva, podemos representar morfismos f : A 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ A n → B 1 ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ B m como m -por- n matrices
Usando que ∑ k i k ∘ p k = 1 , se deduce que la suma y composición de matrices obedecen las reglas habituales para la suma y multiplicación de matrices .
Por tanto, las categorías aditivas pueden verse como el contexto más general en el que el álgebra de matrices tiene sentido.
Recuerde que los morfismos de un solo objeto A hacia sí mismo forman el anillo de endomorfismo End A. Si denotamos el producto n veces de A consigo mismo por An , entonces los morfismos de An a Am son matrices m por n con entradas del anillo End A .
A la inversa, dado cualquier anillo R , podemos formar una categoría Mat ( R ) tomando objetos An indexados por el conjunto de números naturales (incluido ) y dejando que el conjunto hom de morfismos de An a Am sea el conjunto de m -por- n matrices sobre R , y donde la composición viene dada por la multiplicación de matrices. [2] Entonces Mat ( R ) es una categoría aditiva y An es igual a la potencia n veces ( A 1 ) n .
Esta construcción debe compararse con el resultado de que un anillo es una categoría preaditiva con un solo objeto, como se muestra aquí .
Si interpretamos el objeto An como el módulo izquierdo R n , entonces esta categoría de matriz se convierte en una subcategoría de la categoría de módulos izquierdos sobre R .
Esto puede resultar confuso en el caso especial en el que mo n es cero, porque normalmente no pensamos en matrices con 0 filas o 0 columnas . Sin embargo, este concepto tiene sentido: tales matrices no tienen entradas y, por lo tanto, están completamente determinadas por su tamaño. Si bien estas matrices son bastante degeneradas, es necesario incluirlas para obtener una categoría aditiva, ya que una categoría aditiva debe tener un objeto cero.
Sin embargo, pensar en tales matrices puede ser útil de una manera: resaltan el hecho de que dados cualesquiera objetos A y B en una categoría aditiva, hay exactamente un morfismo de A a 0 (al igual que hay exactamente un morfismo de 0 por 1). matriz con entradas en End A ) y exactamente un morfismo de 0 a B (así como hay exactamente una matriz de 1 por 0 con entradas en End B ) – esto es exactamente lo que significa decir que 0 es un objeto cero . Además, el morfismo cero de A a B es la composición de estos morfismos, como se puede calcular multiplicando las matrices degeneradas.
Un funtor F : C → D entre categorías preaditivas es aditivo si es un homomorfismo de grupo abeliano en cada hom-set en C . Si las categorías son aditivas, entonces un funtor es aditivo si y sólo si conserva todos los diagramas de biproductos .
Es decir, si B es un biproducto de A 1 , ... , An en C con morfismos de proyección p k y morfismos de inyección i j , entonces F ( B ) debería ser un biproducto de F ( A 1 ), ... , F ( A n ) en D con morfismos de proyección F ( p j ) y morfismos de inyección F ( i j ) .
Casi todos los funtores estudiados entre categorías aditivas son aditivos. De hecho, es un teorema que todos los funtores adjuntos entre categorías aditivas deben ser funtores aditivos (ver aquí ). La mayoría de los functores interesantes estudiados en la teoría de categorías son adjuntos.
Al considerar funtores entre categorías aditivas lineales R , generalmente se restringe a funtores lineales R , por lo que esos funtores dan un homomorfismo de módulo R en cada conjunto hom.
Muchas categorías aditivas comúnmente estudiadas son de hecho categorías abelianas; por ejemplo, Ab es una categoría abeliana. Los grupos abelianos libres proporcionan un ejemplo de una categoría que es aditiva pero no abeliana. [3]
