En álgebra , dado un anillo R , la categoría de módulos izquierdos sobre R es la categoría cuyos objetos son todos módulos izquierdos sobre R y cuyos morfismos son todos homomorfismos de módulo entre R -módulos izquierdos . Por ejemplo, cuando R es el anillo de los números enteros Z , es lo mismo que la categoría de grupos abelianos . La categoría de módulos correctos se define de manera similar.
También se puede definir la categoría de bimódulos sobre un anillo R pero esa categoría es equivalente a la categoría de módulos izquierdos (o derechos) sobre el álgebra envolvente de R (o sobre lo opuesto a eso).
Nota: Algunos autores utilizan el término categoría de módulo para la categoría de módulos. Este término puede resultar ambiguo ya que también podría referirse a una categoría con acción de categoría monoidal . [1]
Las categorías de los módulos izquierdo y derecho son categorías abelianas . Estas categorías tienen suficientes proyectivos [2] y suficientes inyectivos . [3] El teorema de incrustación de Mitchell establece que cada categoría abeliana surge como una subcategoría completa de la categoría de módulos de algún anillo.
Existen límites proyectivos y límites inductivos en las categorías de módulos izquierdo y derecho. [4]
Sobre un anillo conmutativo , junto con el producto tensorial de módulos ⊗, la categoría de módulos es una categoría monoide simétrica .
Un objeto monoide de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R es exactamente un álgebra asociativa sobre R .
Ver también: objeto compacto (un objeto compacto en R -mod es exactamente un módulo presentado de forma finita).
La categoría K - Vect (algunos autores usan Vect K ) tiene todos los espacios vectoriales sobre un campo K como objetos y K - mapas lineales como morfismos. Dado que los espacios vectoriales sobre K (como campo) son lo mismo que los módulos sobre el anillo K , K - Vect es un caso especial de R - Mod (algunos autores usan Mod R ), la categoría de R -módulos izquierdos .
Gran parte del álgebra lineal se refiere a la descripción de K - Vect . Por ejemplo, el teorema de dimensión para espacios vectoriales dice que las clases de isomorfismo en K - Vect corresponden exactamente a los números cardinales , y que K - Vect es equivalente a la subcategoría de K - Vect que tiene como objetos los espacios vectoriales Kn , donde n es cualquier número cardinal.
La categoría de haces de módulos sobre un espacio anillado también tiene suficientes inyectivos (aunque no siempre suficientes proyectivos).