Biproducto

En la teoría de categorías y sus aplicaciones a las matemáticas , un biproducto de una colección finita de objetos , en una categoría con cero objetos , es a la vez un producto y un coproducto . En una categoría preaditiva, las nociones de producto y coproducto coinciden para colecciones finitas de objetos. ^[1] El biproducto es una generalización de sumas directas finitas de módulos .

Definición

Sea C una categoría con cero morfismos . Dada una colección finita (posiblemente vacía) de objetos A ₁ , ..., A _n en C , su biproducto es un objeto en C junto con morfismos ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$

• ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$en C (los morfismos de proyección )
• ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$(los morfismos de incrustación )

satisfactorio

• ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$, el morfismo identidad de y ${\displaystyle A_{k},}$
• ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$, el morfismo cero para ${\displaystyle A_{k}\to A_{l},}$ ${\displaystyle k\neq l,}$

y tal que

• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$es un producto para el y ${\textstyle A_{k},}$
• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$es un coproducto de la ${\textstyle A_{k}.}$

Si C es preaditivo y se cumplen las dos primeras condiciones, entonces cada una de las dos últimas condiciones es equivalente a cuando n > 0. ^[2] Un producto vacío, o nulario , es siempre un objeto terminal en la categoría, y el coproducto vacío es siempre un objeto inicial en la categoría. Por lo tanto, un biproducto vacío, o nulario, es siempre un objeto cero . ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}$

Ejemplos

En la categoría de grupos abelianos , los biproductos siempre existen y están dados por la suma directa . ^[3] El objeto cero es el grupo trivial .

De manera similar, los biproductos existen en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo . El biproducto es nuevamente la suma directa y el objeto cero es el espacio vectorial trivial .

De manera más general, los biproductos existen en la categoría de módulos sobre un anillo .

Por otra parte, los biproductos no existen en la categoría de grupos . ^[4] Aquí, el producto es el producto directo , pero el coproducto es el producto libre .

Además, los biproductos no existen en la categoría de conjuntos , ya que el producto viene dado por el producto cartesiano , mientras que el coproducto viene dado por la unión disjunta . Esta categoría no tiene un objeto cero.

El álgebra matricial de bloques se basa en biproductos en categorías de matrices . ^[5]

Propiedades

Si el biproducto existe para todos los pares de objetos A y B en la categoría C , y C tiene un objeto cero, entonces existen todos los biproductos finitos, lo que hace que C sea tanto una categoría monoidal cartesiana como una categoría monoidal co-cartesiana. ${\textstyle A\oplus B}$

Si el producto y el coproducto existen ambos para algún par de objetos A ₁ , A ₂ entonces hay un morfismo único tal que ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$ ${\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}$

• ${\displaystyle p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ f\circ i_{k}=0}$para ^{[ aclaración necesaria ]} ${\textstyle k\neq l.}$

De ello se deduce que el biproducto existe si y sólo si f es un isomorfismo . ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$

Si C es una categoría preaditiva , entonces todo producto finito es un subproducto, y todo coproducto finito es un subproducto. Por ejemplo, si existe, entonces hay morfismos únicos tales que ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$

• ${\displaystyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)}$
• ${\displaystyle p_{l}\circ i_{k}=0}$para ${\textstyle k\neq l.}$

Para ver que ahora también es un coproducto y, por lo tanto, un subproducto, supongamos que tenemos morfismos para algún objeto . Definir Entonces es un morfismo de a , y para . ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}}$ ${\textstyle k=1,2}$

En este caso siempre tenemos

• ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}$

Una categoría aditiva es una categoría preaditiva en la que existen todos los subproductos finitos. En particular, los subproductos siempre existen en las categorías abelianas .

Referencias

1. Borceux, 4-5
2. Saunders Mac Lane - Categorías para el matemático en activo, segunda edición, página 194.
3. Borceux, 8
4. Borceux, 7
5. HD Macedo, JN Oliveira, Typing linear algebra: A biproduct-oriented approach, Science of Computer Programming, Volumen 78, Número 11, 1 de noviembre de 2013, Páginas 2160-2191, ISSN  0167-6423, doi :10.1016/j.scico.2012.07.012.

• Borceux, Francis (2008). Manual de álgebra categórica 2: categorías y estructuras . Cambridge University Press . ISBN. 978-0-521-06122-3.^{:Sección 1.2}