categoría monoidal cartesiana

En matemáticas , específicamente en el campo conocido como teoría de categorías , una categoría monoidal donde el producto monoidal ("tensor") es el producto categórico se denomina categoría monoidal cartesiana . Cualquier categoría con productos finitos (una "categoría de producto finita") puede considerarse como una categoría monoidal cartesiana. En cualquier categoría monoidal cartesiana, el objeto terminal es la unidad monoidal. De manera dual , una categoría de coproducto finito monoidal con la estructura monoidal dada por el coproducto y la unidad del objeto inicial se llama categoría monoidal cocartesiana , y cualquier categoría de coproducto finita puede considerarse como una categoría monoidal cocartesiana.

Las categorías cartesianas con un funtor Hom interno que es un funtor adjunto al producto se denominan categorías cartesianas cerradas . ^[1]

Propiedades

Las categorías monoidales cartesianas tienen una serie de propiedades especiales e importantes, como la existencia de aplicaciones diagonales Δ _x  :  x  →  x  ⊗  x y aumentos e _x  :  x  →  I para cualquier objeto x . En aplicaciones a la informática podemos pensar en Δ como "duplicar datos" y e como "eliminar datos". Estos mapas convierten cualquier objeto en un comonoide . De hecho, cualquier objeto en una categoría monoidal cartesiana se convierte en comonoide de una manera única.

Ejemplos

Categorías monoidales cartesianas:

• Conjunto , la categoría de conjuntos con el conjunto singleton como unidad.
• Cat , la bicategoría de categorías pequeñas con la categoría de producto , donde la categoría con un objeto y solo su mapa de identidad es la unidad.

Categorías monoidales cocartesianas:

• Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo dado , se puede convertir en monoidal cocartesiano con el producto monoidal dado por la suma directa de espacios vectoriales y el espacio vectorial trivial como unidad.
• Ab , la categoría de grupos abelianos , con la suma directa de los grupos abelianos como producto monoidal y el grupo trivial como unidad.
• De manera más general, la categoría R - Mod de módulos (izquierdos) sobre un anillo R ( conmutativo o no) se convierte en una categoría monoidea cocartesiana con la suma directa de módulos como producto tensorial y el módulo trivial como unidad.

En cada una de estas categorías de módulos equipados con una estructura monoidea cocartesiana, los productos finitos y los coproductos coinciden (en el sentido de que el producto y el coproducto de un número finito de objetos son isomórficos). O más formalmente, si f  :  X ₁ ∐ ... ∐ X _n →  X ₁  × ... ×  X _n es la aplicación "canónica" del coproducto n -ario de los objetos X _j a su producto, para un número natural n , en el caso de que la aplicación f sea un isomorfismo , decimos que un biproducto para los objetos X _j es un objeto isomorfo a y junto con aplicaciones i _j  :  X _j  →  X y p _j  :  X  →   X _j tal que la El par ( X , { i _j } ) es un diagrama de coproducto para los objetos X _j y el par ( X , { p _j } ) es un diagrama de producto para los objetos X _j , y donde p _j  ∘  i _j  = id _{X j} . Si, además, la categoría en cuestión tiene un objeto cero , de modo que para cualesquiera objetos A y B existe una aplicación única 0 _{A , B}  :  A  → 0 →  B , a menudo se sigue que p _k  ∘  i _j  = :  δ _ij , el delta de Kronecker , donde interpretamos 0 y 1 como los mapas 0 y los mapas de identidad de los objetos X _j y X _k , respectivamente. Consulte la categoría de preaditivos para obtener más información. ${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$ ${\displaystyle \prod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}}$

Ver también

• Categoría cerrada cartesiana

Referencias

1. Categoría monoidal cartesiana en el n Lab