Dominio de una función

Concepto matemático

Una función f de X a Y. El conjunto de puntos en el óvalo rojo X es el dominio de f .

Gráfica de la función raíz cuadrada de valor real , f ( x ) = √ x , cuyo dominio consiste en todos los números reales no negativos

En matemáticas , el dominio de una función es el conjunto de valores de entrada que acepta la función . A veces se denota por o , donde f es la función. En términos sencillos, el dominio de una función puede considerarse generalmente como "lo que x puede ser". ^[1] ${\displaystyle \operatorname {dom} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} f}$

Más precisamente, dada una función , el dominio de f es X. En el lenguaje matemático moderno, el dominio es parte de la definición de una función más que una propiedad de ella. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

En el caso especial de que X e Y sean conjuntos de números reales , la función f puede representarse gráficamente en el sistema de coordenadas cartesianas . En este caso, el dominio se representa en el eje x del gráfico, como la proyección del gráfico de la función sobre el eje x .

Para una función , el conjunto Y se denomina codominio : el conjunto al que deben pertenecer todas las salidas. El conjunto de salidas específicas que la función asigna a los elementos de X se denomina rango o imagen . La imagen de f es un subconjunto de Y , que se muestra como el óvalo amarillo en el diagrama adjunto. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Cualquier función puede restringirse a un subconjunto de su dominio. La restricción de a , donde , se escribe como . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \left.f\right|_{A}\colon A\to Y}$

Dominio natural

Si una función real f se da mediante una fórmula, puede que no esté definida para algunos valores de la variable. En este caso, se trata de una función parcial y el conjunto de números reales en los que la fórmula puede evaluarse como un número real se denomina dominio natural o dominio de definición de f . En muchos contextos, una función parcial se denomina simplemente función y su dominio natural se denomina simplemente dominio .

Ejemplos

• La función definida por no se puede evaluar en 0. Por lo tanto, el dominio natural de es el conjunto de números reales excluyendo 0, que se puede denotar por o . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\neq 0\}}$
• La función por partes definida por tiene como dominio natural el conjunto de los números reales. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La función raíz cuadrada tiene como dominio natural el conjunto de números reales no negativos, que pueden denotarse por , el intervalo , o . ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq 0\}}$
• La función tangente , denotada por , tiene como dominio natural el conjunto de todos los números reales que no son de la forma de algún entero , que puede escribirse como . ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}+k\pi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {\pi }{2}}+k\pi :k\in \mathbb {Z} \}}$

Otros usos

El término dominio también se utiliza comúnmente en un sentido diferente en el análisis matemático : un dominio es un conjunto abierto conexo no vacío en un espacio topológico . En particular, en el análisis real y complejo , un dominio es un subconjunto abierto conexo no vacío del espacio de coordenadas real o del espacio de coordenadas complejo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

A veces, dicho dominio se utiliza como el dominio de una función, aunque las funciones pueden definirse en conjuntos más generales. A veces, los dos conceptos se confunden, como en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo: en ese caso, un dominio es el subconjunto abierto y conexo del conjunto en el que se plantea un problema, lo que lo convierte en un dominio de estilo analítico y también en el dominio de la(s) función(es) desconocida(s) buscada(s). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Establecer nociones teóricas

Por ejemplo, a veces es conveniente en la teoría de conjuntos permitir que el dominio de una función sea una clase propia X , en cuyo caso formalmente no existe tal cosa como una terna ( X , Y , G ) . Con tal definición, las funciones no tienen un dominio, aunque algunos autores todavía lo usan informalmente después de introducir una función en la forma f : X → Y . ^[2]

Véase también

• Argumento de una función
• Dominio de atributo
• Biyección, inyección y sobreyección
• Codominio
• Descomposición de dominios
• Dominio efectivo
• Imagen (matemáticas)
• Dominio de Lipschitz
• Teoría de conjuntos ingenua
• Rango de una función
• Soporte (matemáticas)

Notas

1. "Dominio, rango e inversa de funciones". Easy Sevens Education . Consultado el 13 de abril de 2023 .
2. Eccles 1997, pág. 91 (cita 1, cita 2); Mac Lane 1998, pág. 8; Mac Lane, en Scott & Jech 1971, pág. 232; Sharma 2010, pág. 91; Stewart & Tall 1977, pág. 89

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1970). Teoría de los conjuntos . Elementos matemáticos. Saltador. ISBN 9783540340348.
• Eccles, Peter J. (11 de diciembre de 1997). Introducción al razonamiento matemático: números, conjuntos y funciones. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59718-0.
• Mac Lane, Saunders (25 de septiembre de 1998). Categorías para el matemático en activo. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98403-2.
• Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (31 de diciembre de 1971). Teoría de conjuntos axiomáticos, parte 1. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0245-8.
• Sharma, AK (2010). Introducción a la teoría de conjuntos. Discovery Publishing House. ISBN 978-81-7141-877-0.
• Stewart, Ian; Tall, David (1977). Fundamentos de las matemáticas. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853165-4.