En teoría de operadores , el teorema de Gelfand-Mazur es un teorema que lleva el nombre de Israel Gelfand y Stanisław Mazur y que establece que un álgebra de Banach con unidad sobre los números complejos en los que cada elemento distinto de cero es invertible es isométricamente isomorfa a los números complejos , es decir, la única álgebra de Banach compleja que es un álgebra de división es la de los números complejos C.
El teorema se deduce del hecho de que el espectro de cualquier elemento de un álgebra de Banach compleja no es vacío: para cada elemento a de un álgebra de Banach compleja A existe algún número complejo λ tal que λ 1 − a no es invertible. Esto es una consecuencia de la analiticidad compleja de la función resolvente . Por suposición, λ 1 − a = 0. Por lo tanto, a = λ · 1. Esto da un isomorfismo de A a C .
El teorema puede reforzarse con la afirmación de que existen (salvo isomorfismo) exactamente tres álgebras de división de Banach reales: el cuerpo de los reales R , el cuerpo de los números complejos C y el álgebra de división de los cuaterniones H . Este resultado fue demostrado primero por Stanisław Mazur solo, pero fue publicado en Francia sin una prueba, cuando el autor rechazó la solicitud del editor de acortar su prueba. Gelfand (independientemente) publicó una prueba del caso complejo unos años más tarde.