Operador compacto

Tipo de operador lineal continuo

En análisis funcional , una rama de las matemáticas , un operador compacto es un operador lineal , donde hay espacios vectoriales normados , con la propiedad de asignar subconjuntos acotados de a subconjuntos relativamente compactos de (subconjuntos con cierre compacto en ). Tal operador es necesariamente un operador acotado y, por tanto, continuo. ^[1] Algunos autores exigen que sea Banach, pero la definición puede extenderse a espacios más generales. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$

Cualquier operador acotado que tenga rango finito es un operador compacto; de hecho, la clase de operadores compactos es una generalización natural de la clase de operadores de rango finito en un entorno de dimensión infinita. Cuando es un espacio de Hilbert , es cierto que cualquier operador compacto es un límite de operadores de rango finito, ^[1] de modo que la clase de operadores compactos puede definirse alternativamente como la clausura del conjunto de operadores de rango finito en la norma topología . Si esto era cierto en general para los espacios de Banach (la propiedad de aproximación ) fue una cuestión sin resolver durante muchos años; En 1973, Per Enflo dio un contraejemplo, basándose en el trabajo de Grothendieck y Banach . ^[2] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

El origen de la teoría de los operadores compactos está en la teoría de las ecuaciones integrales , donde los operadores integrales proporcionan ejemplos concretos de dichos operadores. Una ecuación integral típica de Fredholm da lugar a un operador compacto K en espacios funcionales ; la propiedad de compacidad se muestra por equicontinuidad . El método de aproximación mediante operadores de rango finito es básico en la solución numérica de este tipo de ecuaciones. De esta conexión se deriva la idea abstracta del operador Fredholm .

Formulaciones equivalentes

Se dice que un mapa lineal entre dos espacios vectoriales topológicos es compacto si existe una vecindad del origen tal que sea un subconjunto relativamente compacto de . ^[3] ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Sean espacios normados y un operador lineal. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes, y algunas de ellas son utilizadas como definición principal por diferentes autores ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

• ${\displaystyle T}$es un operador compacto;
• la imagen de la bola unitaria de under es relativamente compacta ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• la imagen de cualquier subconjunto acotado de under es relativamente compacta en ; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$
• existe una vecindad del origen en y un subconjunto compacto tal que ; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle T(U)\subseteq V}$
• para cualquier secuencia acotada en , la secuencia contiene una subsecuencia convergente. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Tx_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Si además es Banach, estas afirmaciones también equivalen a: ${\displaystyle Y}$

• la imagen de cualquier subconjunto acotado de under está totalmente acotada en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y}$

Si un operador lineal es compacto, entonces es continuo.

Propiedades importantes

A continuación, son espacios de Banach, es el espacio de operadores acotados bajo la norma del operador y denota el espacio de operadores compactos . denota el operador de identidad en , y . ${\displaystyle X,Y,Z,W}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle K(X,Y)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$ ${\displaystyle K(X)=K(X,X)}$

• ${\displaystyle K(X,Y)}$es un subespacio cerrado de (en la topología normal). De manera equivalente, ^[5] ${\displaystyle B(X,Y)}$
  • dada una secuencia de mapeo de operadores compactos (donde está Banach) y dado que converge con respecto a la norma del operador , entonces es compacto. ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Por el contrario, si hay espacios de Hilbert, entonces cada operador compacto es el límite de los operadores de rango finito. En particular, esta " propiedad de aproximación " es falsa para los espacios generales de Banach X e Y. ^[4] ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$
• ${\displaystyle B(Y,Z)\circ K(X,Y)\circ B(W,X)\subseteq K(W,Z).}$  En particular, forma un ideal bilateral en . ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle B(X)}$
• Cualquier operador compacto es estrictamente singular , pero no al revés. ^[6]
• Un operador lineal acotado entre espacios de Banach es compacto si y sólo si su adjunto es compacto ( teorema de Schauder ).
  • Si es acotado y compacto, entonces: ${\displaystyle T:X\to Y}$
    • el cierre del rango de es separable . ^{[5] [7]} ${\displaystyle T}$
    • si el rango de está cerrado en Y , entonces el rango de es de dimensión finita. ^{[5] [7]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Si es un espacio de Banach y existe un operador compacto acotado invertible , entonces es necesariamente de dimensión finita. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle X}$

Ahora supongamos que es un espacio de Banach y es un operador lineal compacto, y es el adjunto o transpuesto de T. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle T^{*}:X^{*}\to X^{*}}$

• Para cualquiera , entonces   es un operador Fredholm de índice 0. En particular,   está cerrado. Esto es esencial para desarrollar las propiedades espectrales de los operadores compactos. Se puede notar la similitud entre esta propiedad y el hecho de que, si y son subespacios de donde es cerrado y de dimensión finita, entonces también es cerrado. ${\displaystyle T\in K(X)}$ ${\displaystyle {\operatorname {Id} _{X}}-T}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \,({\operatorname {Id} _{X}}-T)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• Si es un operador lineal acotado, entonces ambos y son operadores compactos. ^[5] ${\displaystyle S:X\to X}$ ${\displaystyle S\circ T}$ ${\displaystyle T\circ S}$
• Si entonces el rango de es cerrado y el núcleo de es de dimensión finita. ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$
• Si entonces los siguientes son finitos e iguales: ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \dim \ker \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim X/\operatorname {Im} \left(T-\lambda \operatorname {Id} _{X}\right)=\dim \ker \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)=\dim X^{*}/\operatorname {Im} \left(T^{*}-\lambda \operatorname {Id} _{X^{*}}\right)}$
• El espectro de , es compacto, contable y tiene como máximo un punto límite , que necesariamente sería el origen. ^[5] ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle T}$
• Si es de dimensión infinita entonces . ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$
• Si y entonces es un valor propio de ambos y . ^[5] ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}}$
• Para cada conjunto el conjunto es finito y para cada distinto de cero el rango de es un subconjunto propio de X . ^[5] ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle E_{r}=\left\{\lambda \in \sigma (T):|\lambda |>r\right\}}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ ${\displaystyle T-\lambda \operatorname {Id} _{X}}$

Orígenes de la teoría de ecuaciones integrales

Una propiedad crucial de los operadores compactos es la alternativa de Fredholm , que afirma que la existencia de solución de ecuaciones lineales de la forma

${\displaystyle (\lambda K+I)u=f}$

(donde K es un operador compacto, f es una función dada y u es la función desconocida a resolver) se comporta de manera muy similar a como en dimensiones finitas. A continuación sigue la teoría espectral de los operadores compactos , debida a Frigyes Riesz (1918). Muestra que un operador compacto K en un espacio de Banach de dimensión infinita tiene un espectro que es un subconjunto finito de C que incluye 0, o el espectro es un subconjunto infinitamente numerable de C que tiene 0 como su único punto límite . Además, en cualquier caso, los elementos distintos de cero del espectro son valores propios de K con multiplicidades finitas (de modo que K − λ I tiene un núcleo de dimensión finita para todo complejo λ ≠ 0).

Un ejemplo importante de operador compacto es la incrustación compacta de espacios de Sobolev , que, junto con la desigualdad de Gårding y el teorema de Lax-Milgram , se pueden utilizar para convertir un problema de valores de frontera elípticos en una ecuación integral de Fredholm. ^[8] La existencia de la solución y las propiedades espectrales se derivan entonces de la teoría de los operadores compactos; en particular, un problema de valores de frontera elípticos en un dominio acotado tiene infinitos valores propios aislados. Una consecuencia es que un cuerpo sólido puede vibrar sólo a frecuencias aisladas, dadas por los valores propios, y siempre existen frecuencias de vibración arbitrariamente altas.

Los operadores compactos de un espacio de Banach consigo mismo forman un ideal bilateral en el álgebra de todos los operadores acotados en el espacio. De hecho, los operadores compactos en un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita forman un ideal máximo, por lo que el álgebra del cociente , conocida como álgebra de Calkin , es simple . De manera más general, los operadores compactos forman un operador ideal .

Operador compacto en espacios de Hilbert

Para los espacios de Hilbert, se da otra definición equivalente de operadores compactos a continuación.

Un operador en un espacio de Hilbert de dimensión infinita ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$

se dice que es compacto si se puede escribir en la forma

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,,}$

donde y son conjuntos ortonormales (no necesariamente completos), y es una secuencia de números positivos con límite cero, llamados valores singulares del operador. Los valores singulares sólo pueden acumularse en cero. Si la secuencia se vuelve estacionaria en cero, es decir para algunos y todos , entonces el operador tiene rango finito, es decir , un rango de dimensión finita y puede escribirse como ${\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots }$ ${\displaystyle \lambda _{N+k}=0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle T=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle f_{n},\cdot \rangle g_{n}\,.}$

El paréntesis es el producto escalar en el espacio de Hilbert; la suma del lado derecho converge en la norma del operador. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Una subclase importante de operadores compactos son los operadores nucleares o de clase traza , es decir, tales que . Si bien todos los operadores de clase de seguimiento son operadores compactos, lo contrario no es necesariamente cierto. Por ejemplo, tiende a cero durante un tiempo . ${\displaystyle \operatorname {Tr} (|T|)<\infty }$ ${\textstyle \lambda _{n}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda _{n}|=\infty }$

Operadores completamente continuos

Sean X e Y espacios de Banach. Un operador lineal acotado T  : X → Y se llama completamente continuo si, para cada secuencia débilmente convergente de X , la secuencia es norma-convergente en Y (Conway 1985, §VI.3). Los operadores compactos en un espacio Banach siempre son completamente continuos. Si X es un espacio de Banach reflexivo , entonces todo operador completamente continuo T  : X → Y es compacto. ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (Tx_{n})}$

De manera algo confusa, a veces se hace referencia a los operadores compactos como "completamente continuos" en la literatura más antigua, aunque no son necesariamente completamente continuos según la definición de esa frase en la terminología moderna.

Ejemplos

• Todo operador de rango finito es compacto.
• Para y una secuencia (t _n ) que converge a cero, el operador de multiplicación ( Tx ) _n = t _n x _n es compacto. ${\displaystyle \ell ^{p}}$
• Para algunos fijos g  ∈  C ([0, 1];  R ), defina el operador lineal T de C ([0, 1];  R ) a C ([0, 1];  R ) por
  $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t.}$$
  Que el operador T es efectivamente compacto se desprende del teorema de Ascoli .
• De manera más general, si Ω es cualquier dominio en R ⁿ y el núcleo integral k  : Ω × Ω →  R es un núcleo de Hilbert-Schmidt , entonces el operador T en L ² (Ω;  R ) definido por
  $${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{\Omega }k(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$$
  es un operador compacto.
• Según el lema de Riesz , el operador identidad es un operador compacto si y sólo si el espacio es de dimensión finita. ^[9]

Ver también

• Incrustación compacta
• Operador compacto en el espacio Hilbert
• Alternativa de Fredholm  – teorema matemáticoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Ecuación integral de Fredholm
• Operador de Fredholm
• Operador estrictamente singular
• Teoría espectral de operadores compactos.

Notas

1. Conway 1985, Sección 2.4
2. Enflo 1973
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 98.
4. Brézis, H. (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales. H. Brézis. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-70914-7. OCLC  695395895.
5. Rudin 1991, págs. 103-115.
6. NL Carothers, Un curso breve sobre la teoría espacial de Banach , (2005) Textos de estudiantes de la London Mathematical Society 64 , Cambridge University Press.
7. Conway 1990, págs. 173-177.
8. William McLean, Sistemas fuertemente elípticos y ecuaciones integrales de frontera, Cambridge University Press, 2000
9. Kreyszig 1978, Teoremas 2.5-3, 2.5-5.

Referencias

• Conway, John B. (1985). Un curso de análisis funcional . Springer-Verlag. Sección 2.4. ISBN 978-3-540-96042-3.
• Conway, John B. (1990). Un curso de análisis funcional . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 96 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Enflo, P. (1973). "Un contraejemplo al problema de aproximación en espacios de Banach". Acta Matemática . 130 (1): 309–317. doi : 10.1007/BF02392270 . ISSN  0001-5962. SEÑOR  0402468.
• Kreyszig, Erwin (1978). Análisis funcional introductorio con aplicaciones . John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-50731-4.
• Kutateladze, SS (1996). Fundamentos del Análisis Funcional . Textos en Ciencias Matemáticas. vol. 12 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 292.ISBN​ 978-0-7923-3898-7.
• Laxo, Peter (2002). Análisis funcional . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC  47767143.
• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Renardy, M.; Rogers, RC (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada. vol. 13 (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . pag. 356.ISBN​ 978-0-387-00444-0.(Sección 7.5)
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.