La desigualdad de Gårding

En matemáticas , la desigualdad de Gårding es un resultado que da un límite inferior para la forma bilineal inducida por un operador diferencial parcial elíptico lineal real . La desigualdad lleva el nombre de Lars Gårding .

Declaración de la desigualdad

Sea un espacio euclidiano indimensional , de dominio abierto y acotado y denotemos el espacio de Sobolev de funciones débilmente diferenciables con derivadas débiles en . Supongamos que satisface la propiedad de extensión, es decir, que existe un operador lineal acotado tal que para todos . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H^{k}(\Omega )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle u\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E\colon H^{k}(\Omega )\rightarrow H^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle Eu\vert _{\Omega }=u}$ ${\displaystyle u\in H^{k}(\Omega )}$

Sea L un operador diferencial parcial lineal de orden par 2k , escrito en forma de divergencia

${\displaystyle (Lu)(x)=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}(-1)^{|\alpha |}\mathrm {D} ^{\alpha }\left(A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\beta }u(x)\right),}$

y supongamos que L es uniformemente elíptica, es decir, existe una constante θ > 0 tal que

${\displaystyle \sum _{|\alpha |,|\beta |=k}\xi ^{\alpha }A_{\alpha \beta }(x)\xi ^{\beta }>\theta |\xi |^{2k}{\mbox{ for all }}x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}.}$

Finalmente, supongamos que los coeficientes A _αβ son funciones acotadas y continuas sobre el cierre de Ω para | α | = | β | = k y eso

${\displaystyle A_{\alpha \beta }\in L^{\infty }(\Omega ){\mbox{ for all }}|\alpha |,|\beta |\leq k.}$

Entonces se cumple la desigualdad de Gårding : existen constantes C  > 0 y G  ≥ 0

${\displaystyle B[u,u]+G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}\geq C\|u\|_{H^{k}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{k}(\Omega ),}$

dónde

${\displaystyle B[v,u]=\sum _{0\leq |\alpha |,|\beta |\leq k}\int _{\Omega }A_{\alpha \beta }(x)\mathrm {D} ^{\alpha }u(x)\mathrm {D} ^{\beta }v(x)\,\mathrm {d} x}$

es la forma bilineal asociada al operador L .

Aplicación: el operador de Laplace y el problema de Poisson

Ojo, en esta aplicación la Desigualdad de Garding parece inútil ya que el resultado final es una consecuencia directa de la Desigualdad de Poincaré, o Desigualdad de Friedrich. (Ver charla sobre el artículo).

Como ejemplo sencillo, considere el operador de Laplace Δ. Más específicamente, supongamos que se desea resolver, para f  ∈  L ² (Ω), la ecuación de Poisson

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases}}}$

donde Ω es un dominio de Lipschitz acotado en R ⁿ . La forma débil correspondiente del problema es encontrar u en el espacio de Sobolev H ₀ ¹ (Ω) tal que

${\displaystyle B[u,v]=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ),}$

dónde

${\displaystyle B[u,v]=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x,}$

${\displaystyle \langle f,v\rangle =\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x.}$

El lema de Lax-Milgram asegura que si la forma bilineal B es continua y elíptica con respecto a la norma en H ₀ ¹ (Ω), entonces, para cada f  ∈  L ² (Ω), debe existir una solución única u en H ₀ ¹ (Ω). Las hipótesis de la desigualdad de Gårding son fáciles de verificar para el operador de Laplace Δ, por lo que existen constantes C y G  ≥ 0

${\displaystyle B[u,u]\geq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}-G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).}$

La aplicación de la desigualdad de Poincaré permite combinar los dos términos del lado derecho, produciendo una nueva constante K  > 0 con

${\displaystyle B[u,u]\geq K\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ),}$

que es precisamente la afirmación de que B es elíptica. La continuidad de B es aún más fácil de ver: basta con aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el hecho de que la norma de Sobolev está controlada por la norma L ² del gradiente.

Referencias

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 356.ISBN​ 0-387-00444-0.(Teorema 9.17)