En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un anillo simple es un anillo distinto de cero que no tiene un ideal bilateral además del ideal cero y de sí mismo. En particular, un anillo conmutativo es un anillo simple si y sólo si es un campo .
El centro de un anillo simple es necesariamente un campo. De ello se deduce que un anillo simple es un álgebra asociativa sobre este campo. Entonces se llama álgebra simple sobre este campo.
Varias referencias (por ejemplo, Lang (2002) o Bourbaki (2012)) requieren además que un anillo simple sea artiniano izquierdo o derecho (o equivalentemente semisimple ). Según dicha terminología, un anillo distinto de cero sin ideales bilaterales no triviales se denomina cuasisimple .
Existen anillos que son simples como anillos pero que no son un módulo simple sobre sí mismos: un anillo de matriz completo sobre un campo no tiene ideales bilaterales no triviales (ya que cualquier ideal de tiene la forma con un ideal de ), pero tiene ideales de izquierda no triviales (por ejemplo, los conjuntos de matrices que tienen algunas columnas cero fijas).
Un ejemplo inmediato de un anillo simple es un anillo de división , donde cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, por ejemplo, los cuaterniones . Además, para cualquiera , el álgebra de matrices con entradas en un anillo de división es simple.
Joseph Wedderburn demostró que si un anillo es un álgebra simple de dimensión finita sobre un campo , es isomorfo a un álgebra matricial sobre algún álgebra de división sobre . En particular, los únicos anillos simples que son álgebras de dimensión finita sobre números reales son anillos de matrices sobre números reales, números complejos o cuaterniones .
Wedderburn demostró estos resultados en 1907 en su tesis doctoral, Sobre números hipercomplejos , que apareció en las Actas de la Sociedad Matemática de Londres . Su tesis clasificó álgebras simples y semisimples de dimensión finita sobre campos. Las álgebras simples son componentes básicos de las álgebras semisimples: cualquier álgebra semisimple de dimensión finita es un producto cartesiano, en el sentido de álgebras, de álgebras simples de dimensión finita.
Hay que tener cuidado con la terminología: no todo anillo simple es un anillo semisimple , y no toda álgebra simple es un álgebra semisimple. Sin embargo, cada álgebra simple de dimensión finita es un álgebra semisimple, y cada anillo simple artiniano de izquierda o derecha es un anillo semisimple.
Un ejemplo de anillo simple que no es semisimple es el álgebra de Weyl . El álgebra de Weyl también da un ejemplo de un álgebra simple que no es un álgebra matricial sobre un álgebra de división sobre su centro: el álgebra de Weyl es de dimensión infinita, por lo que el teorema de Weyl no se aplica.
El resultado de Wedderburn se generalizó posteriormente a anillos semisimples en el teorema de Wedderburn-Artin : esto dice que cada anillo semisimple es un producto finito de anillos de matriz sobre anillos de división. Como consecuencia de esta generalización, cada anillo simple que es artiniano izquierdo o derecho es un anillo matriz sobre un anillo de división.
Sea el cuerpo de los números reales, sea el cuerpo de los números complejos y los cuaterniones .
