Anillo de matriz

Anillo matemático cuyos elementos son matrices.

En álgebra abstracta , un anillo de matriz es un conjunto de matrices con entradas en un anillo R que forman un anillo bajo suma y multiplicación de matrices . ^[1] El conjunto de todas las matrices n × n con entradas en R es un anillo de matriz denominado M _n ( R ) ^{[2] [3] [4] [5]} (notaciones alternativas: Mat _n ( R ) ^[3] y R ^{norte × norte [6]} ). Algunos conjuntos de matrices infinitas forman anillos matriciales infinitos . Un subanillo de un anillo de matriz es nuevamente un anillo de matriz. Sobre un rng , se pueden formar anillos matriciales.

Cuando R es un anillo conmutativo, el anillo matricial M _n ( R ) es un álgebra asociativa sobre R y puede denominarse álgebra matricial . En este contexto, si M es una matriz y r está en R , entonces la matriz rM es la matriz M con cada una de sus entradas multiplicada por r .

Ejemplos

• El conjunto de todas las matrices cuadradas n × n sobre R , denotado M _n ( R ). Esto a veces se denomina "anillo completo de n por n matrices".
• El conjunto de todas las matrices triangulares superiores sobre R .
• El conjunto de todas las matrices triangulares inferiores sobre R .
• El conjunto de todas las matrices diagonales sobre R . Esta subálgebra de M _n ( R ) es isomorfa al producto directo de n copias de R .
• Para cualquier conjunto de índices I , el anillo de endomorfismos del módulo R derecho es isomorfo al anillo ^{[ cita necesaria ]} de matrices finitas de columnas cuyas entradas están indexadas por I × I y cuyas columnas contienen cada una solo un número finito de entradas distintas de cero. El anillo de endomorfismos de M considerado como un módulo R izquierdo es isomorfo al anillo de matrices finitas de filas . ${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$
• Si R es un álgebra de Banach , entonces se puede relajar la condición de finitud de filas o columnas del punto anterior. Con la norma vigente, se pueden utilizar series absolutamente convergentes en lugar de sumas finitas. Por ejemplo, las matrices cuyas sumas de columnas son secuencias absolutamente convergentes forman un anillo. ^{[ dudoso ]} De manera análoga, por supuesto, las matrices cuyas sumas de filas son series absolutamente convergentes también forman un anillo. ^{[ dudoso ]} Esta idea se puede utilizar para representar operadores en espacios de Hilbert , por ejemplo.
• La intersección de los anillos matriciales finitos por filas y finitos por columnas forma un anillo . ${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$
• Si R es conmutativo , entonces M _n ( R ) tiene una estructura de *-álgebra sobre R , donde la involución * en M _n ( R ) es transposición matricial .
• Si A es un álgebra C* , entonces M _n ( A ) es otro álgebra C*. Si A no es unitario, entonces M _n ( A ) tampoco es unitario. Según el teorema de Gelfand-Naimark , existe un espacio de Hilbert H y un isomorfismo * isométrico de A a una subálgebra de norma cerrada del álgebra B ( H ) de operadores continuos; esto identifica M _n ( A ) con una subálgebra de B ( H ^{⊕ n} ). Para simplificar, si suponemos además que H es separable y A B ( H ) es un álgebra C* unital, podemos dividir A en un anillo matricial sobre un álgebra C* más pequeña. Se puede hacerlo fijando una proyección p y por tanto su proyección ortogonal 1 −  p ; se puede identificar A con , donde la multiplicación de matrices funciona según lo previsto debido a la ortogonalidad de las proyecciones. Para identificar A con un anillo matricial sobre un álgebra C*, requerimos que p y 1 −  p tengan el mismo "rango"; más precisamente, necesitamos que p y 1 −  p sean equivalentes de Murray-von Neumann, es decir, existe una isometría parcial u tal que p = uu * y 1 − p = u * u . Se puede generalizar fácilmente esto a matrices de tamaños mayores. ${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
• Las álgebras matriciales complejas M _n ( C ) son, hasta el isomorfismo, las únicas álgebras asociativas simples de dimensión finita sobre el campo C de números complejos . Antes de la invención de las álgebras matriciales, Hamilton introdujo en 1853 un anillo, cuyos elementos llamó bicuaterniones ^[7] y los autores modernos llamarían tensores en C ⊗ _R H , que luego se demostró que era isomorfo a M ₂ ( C ). Una base de M ₂ ( C ) consta de cuatro unidades matriciales (matrices con una entrada 1 y todas las demás entradas 0); otra base viene dada por la matriz identidad y las tres matrices de Pauli .
• Un anillo matricial sobre un campo es un álgebra de Frobenius , con la forma de Frobenius dada por la traza del producto: σ ( A , B ) = tr( AB ) .

Estructura

• El anillo de matriz M _n ( R ) se puede identificar con el anillo de endomorfismos del módulo R derecho libre de rango n ; es decir, M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ ) . La multiplicación de matrices corresponde a la composición de endomorfismos.
• El anillo Mn ₍ D ) sobre un anillo de división D es un anillo simple artiniano , un tipo especial de anillo semisimple . Los anillos y no son simples ni artinianos si el conjunto I es infinito, pero siguen siendo anillos lineales completos . ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$
• El teorema de Artin-Wedderburn establece que todo anillo semisimple es isomorfo a un producto directo finito , para algún número entero no negativo r , enteros positivos n _i y anillos de división D _i . ${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
• Cuando vemos M _n ( C ) como el anillo de endomorfismos lineales de C ⁿ , aquellas matrices que desaparecen en un subespacio V dado forman un ideal de izquierda . Por el contrario, para un ideal izquierdo dado I de M _n ( C ), la intersección de espacios nulos de todas las matrices en I da un subespacio de C ⁿ . Según esta construcción, los ideales izquierdos de M _n ( C ) están en biyección con los subespacios de C ⁿ .
• Existe una biyección entre los ideales bilaterales de M _n ( R ) y los ideales bilaterales de R . Es decir, para cada ideal I de R , el conjunto de todas las matrices n × n con entradas en I es un ideal de M _n ( R ), y cada ideal de M _n ( R ) surge de esta manera. Esto implica que M _n ( R ) es simple si y sólo si R es simple. Para n ≥ 2 , no todo ideal izquierdo o derecho de M _n ( R ) surge por la construcción previa de un ideal izquierdo o derecho en R . Por ejemplo, el conjunto de matrices cuyas columnas con índices 2 a n son todas cero forma un ideal izquierdo en M _n ( R ).
• La correspondencia ideal anterior en realidad surge del hecho de que los anillos R y Mn ₍ R ) son equivalentes de Morita . En términos generales, esto significa que la categoría de módulos R izquierdos y la categoría de módulos M _n ( R ) izquierdos son muy similares. Debido a esto, existe una correspondencia biyectiva natural entre las clases de isomorfismo de los módulos R izquierdos y los módulos M _n ( R ) izquierdos, y entre las clases de isomorfismo de los ideales izquierdos de R y los ideales izquierdos de M _n ( R ). Afirmaciones idénticas se aplican a los módulos correctos y a los ideales correctos. A través de la equivalencia de Morita, M _n ( R ) hereda cualquier propiedad invariante de Morita de R , como ser simple , artiniano , noetheriano o primo .

Propiedades

• Si S es un subanillo de R , entonces M _n ( S ) es un subanillo de M _n ( R ). Por ejemplo, M _n ( Z ) es un subanillo de M _n ( Q ).
• El anillo matricial M _n ( R ) es conmutativo si y sólo si n = 0 , R = 0 o R es conmutativo y n = 1 . De hecho, esto también es cierto para los subanillos de matrices triangulares superiores. A continuación se muestra un ejemplo que muestra dos matrices triangulares superiores de 2 × 2 que no conmutan, suponiendo 1 ≠ 0 en R :

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  y

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Para n ≥ 2 , el anillo de matriz M _n ( R ) sobre un anillo distinto de cero tiene divisores cero y elementos nilpotentes ; Lo mismo ocurre con el anillo de matrices triangulares superiores. Un ejemplo en matrices de 2 × 2 sería

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• El centro de M _n ( R ) está formado por los múltiplos escalares de la matriz identidad , In , en _la que el escalar pertenece al centro de R .
• El grupo unitario de M _n ( R ), que consta de las matrices invertibles bajo multiplicación, se denota GL _n ( R ).
• Si F es un campo, entonces para dos matrices cualesquiera _A y B en M _n ( F ) , la igualdad AB = In implica BA = In _. Sin embargo, esto no es cierto para todos los anillos R. Un anillo R cuyos anillos de matriz tienen todos la propiedad mencionada se conoce como anillo finito estable (Lam 1999, p. 5).

Semianillo de matriz

De hecho, R necesita ser solo un semianillo para que se defina M _n ( R ). En este caso, M _n ( R ) es un semianillo, llamado semianillo matricial . De manera similar, si R es un semianillo conmutativo, entonces M _n ( R ) es unsemiálgebra matricial .

Por ejemplo, si R es el semianillo booleano (el álgebra booleana de dos elementos R = {0, 1} con 1 + 1 = 1 ), ^[8] entonces M _n ( R ) es el semianillo de relaciones binarias en un n - conjunto de elementos con unión como suma, composición de relaciones como multiplicación, la relación vacía ( matriz cero ) como cero y la relación identidad ( matriz identidad ) como unidad . ^[9]

Ver también

• álgebra central simple
• Álgebra de Clifford
• Teorema de Hurwitz (álgebras de división normada)
• Anillo de matriz genérico
• Ley de inercia de Sylvester

Citas

1. Lam (1999), Teorema 3.1
2. Lam (2001).
3. Lang (2005), V.§3
4. Serre (2006), pág. 3
5. Serre (1979), pág. 158
6. Artin (2018), Ejemplo 3.3.6 (a)
7. Conferencia VII de Sir William Rowan Hamilton (1853) Conferencias sobre cuaterniones , Hodges y Smith
8. Droste y Kuich (2009), pág. 7
9. Droste y Kuich (2009), pág. 8

Referencias

• Artin (2018), Álgebra , Pearson
• Droste, M.; Kuich, W (2009), "Semirings and Formal Power Series", Manual de autómatas ponderados , Monografías en informática teórica. Una serie EATCS, págs. 3–28, doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1, ISBN 978-3-642-01491-8
• Lam, TY (1999), Conferencias sobre módulos y anillos, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-98428-5
• Lam (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos (2ª ed.), Springer
• Lang (2005), Álgebra universitaria , Springer
• Serre (1979), Campos locales , Springer
• Serre (2006), Álgebras de Lie y grupos de Lie (2ª ed.), Springer, corregida 5ª impresión