En matemáticas , un subespacio relativamente compacto (o subconjunto relativamente compacto , o subconjunto precompacto ) Y de un espacio topológico X es un subconjunto cuya clausura es compacta .
Cada subconjunto de un espacio topológico compacto es relativamente compacto (ya que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto). Y en un espacio topológico arbitrario cada subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto.
Todo subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es relativamente compacto. En un espacio que no es de Hausdorff, como la topología puntual particular en un conjunto infinito, el cierre de un subconjunto compacto no es necesariamente compacto; Dicho de otra manera, un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacto.
Cada subconjunto compacto de un espacio vectorial topológico (posiblemente no Hausdorff) es completo y relativamente compacto.
En el caso de una topología métrica , o más generalmente cuando se pueden usar secuencias para probar la compacidad, el criterio de compacidad relativa es que cualquier secuencia en Y tiene una subsecuencia convergente en X.
Algunos teoremas importantes caracterizan subconjuntos relativamente compactos, en particular en espacios funcionales . Un ejemplo es el teorema de Arzelà-Ascoli . Otros casos de interés se relacionan con la integrabilidad uniforme y el concepto de familia normal en análisis complejos . El teorema de compacidad de Mahler en la geometría de números caracteriza subconjuntos relativamente compactos en ciertos espacios homogéneos no compactos (específicamente espacios de celosías ).
Como contraejemplo, tomemos cualquier vecindad del punto particular de un espacio de puntos particular infinito . El barrio en sí puede ser compacto, pero no es relativamente compacto porque su cierre es todo el espacio no compacto.
La definición de una función casi periódica F a nivel conceptual tiene que ver con que las traslaciones de F sean un conjunto relativamente compacto. Esto debe precisarse en términos de la topología utilizada, en una teoría particular.