La integrabilidad uniforme es una extensión de la noción de una familia de funciones dominadas que es central en la convergencia dominada . Varios libros de texto sobre análisis real y teoría de la medida utilizan la siguiente definición: [1] [2]
Definición A: Sea un espacio de medida positiva . Un conjunto se llama uniformemente integrable si y a cada uno le corresponde un tal que
cuando sea y
La definición A es bastante restrictiva para espacios de medidas infinitas. GA Hunt introdujo una definición más general [3] de integrabilidad uniforme que funciona bien en espacios de medidas generales .
Definición H: Sea un espacio de medida positiva. Un conjunto se dice uniformemente integrable si y sólo si
dónde .
Dado que la definición de Hunt es equivalente a la Definición A cuando el espacio de medida subyacente es finito (ver Teorema 2 a continuación), la Definición H se adopta ampliamente en Matemáticas.
El siguiente resultado [4] proporciona otra noción equivalente a la de Hunt. Esta equivalencia a veces se da como definición de integrabilidad uniforme.
Teorema 1: Si es un espacio de medidas finitas (positivas), entonces un conjunto es uniformemente integrable si y sólo si
Si además , entonces la integrabilidad uniforme es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones
1. .
2.
Cuando el espacio subyacente es finito, la definición de Hunt es equivalente a la siguiente:
Teorema 2: Sea un espacio de medida finita y sea tal que casi con seguridad. Un conjunto es uniformemente integrable si y sólo si y para cualquiera existen salidas tales que
cuando sea .
Una consecuencia de los teoremas 1 y 2 es que se sigue la equivalencia de las definiciones A y H para medidas finitas. De hecho, el enunciado de la Definición A se obtiene tomando en cuenta el Teorema 2.
Definición de probabilidad
En la teoría de la probabilidad, la Definición A o el enunciado del Teorema 1 a menudo se presentan como definiciones de integrabilidad uniforme utilizando la notación expectativa de variables aleatorias. [5] [6] [7] es decir,
1. Una clase de variables aleatorias se denomina uniformemente integrable si:
Existe un finito tal que, para cada in y
Para cada tal que existe , para cada tal que medible y cada en ,.
Una consecuencia de la integrabilidad uniforme de una clase de variables aleatorias es que la familia de leyes o distribuciones es estricta . Es decir, para cada , existe tal que
[8]
Sin embargo, esto no significa que el conjunto de medidas sea estricto. (En cualquier caso, la estanqueidad requeriría una topología para poder definirse).
Continuidad absoluta uniforme
Existe otra noción de uniformidad, ligeramente diferente a la integrabilidad uniforme, que también tiene muchas aplicaciones en probabilidad y teoría de la medida, y que no requiere que las variables aleatorias tengan una integral finita [9]
Definición: Supongamos que es un espacio de probabilidad. Una clase de variables aleatorias es uniformemente absolutamente continua con respecto a si para alguna , existe tal que
siempre .
Es equivalente a integrabilidad uniforme si la medida es finita y no tiene átomos.
El término "continuidad absoluta uniforme" no es estándar, [ cita necesaria ] pero algunos autores lo utilizan. [10] [11]
Corolarios relacionados
Los siguientes resultados se aplican a la definición probabilística. [12]
La definición 1 podría reescribirse tomando los límites como
Una secuencia que no es UI. Deja y define
Claramente y de hecho para todos los n . Sin embargo,
y comparando con la definición 1, se ve que la secuencia no es uniformemente integrable.
Secuencia de RV sin interfaz de usuario. El área debajo de la tira siempre es igual a 1, pero puntualmente.
Al utilizar la Definición 2 en el ejemplo anterior, se puede ver que la primera cláusula se cumple ya que la norma de todos los s es 1, es decir, acotada. Pero la segunda cláusula no se cumple como dado ningún positivo, hay un intervalo con medida menor que y para todos .
Si es una variable aleatoria de la interfaz de usuario , dividiendo
y acotando cada uno de los dos, se puede ver que una variable aleatoria uniformemente integrable siempre está acotada en .
Si cualquier secuencia de variables aleatorias está dominada por un integrable, no negativo : es decir, para todo ω y n ,
entonces la clase de variables aleatorias es uniformemente integrable.
Una clase de variables aleatorias acotadas en ( ) es uniformemente integrable.
Teoremas relevantes
A continuación utilizamos el marco probabilístico, pero independientemente de la finitud de la medida, agregando la condición de acotación en el subconjunto elegido de .
^ Dunford, Nelson (1938). "Uniformidad en espacios lineales". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 44 (2): 305–356. doi : 10.1090/S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN 0002-9947.
^ Dunford, Nelson (1939). "Un teorema ergódico medio". Revista de Matemáticas de Duke . 5 (3): 635–646. doi :10.1215/S0012-7094-39-00552-1. ISSN 0012-7094.
^ Meyer, Pensilvania (1966). Probabilidad y potenciales , Blaisdell Publishing Co, NY (p.19, Teorema T22).
^ Poussin, C. De La Vallée (1915). "Sur L'Integrale de Lebesgue". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 16 (4): 435–501. doi :10.2307/1988879. hdl : 10338.dmlcz/127627 . JSTOR 1988879.
^ Bogachev, Vladimir I. (2007). "Los espacios Lp y espacios de medidas". Teoría de la medida Volumen I. Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 268. doi :10.1007/978-3-540-34514-5_4. ISBN978-3-540-34513-8.