Geometría de números

La geometría de los números es la parte de la teoría de números que utiliza la geometría para el estudio de los números algebraicos . Normalmente, un anillo de números enteros algebraicos se considera como una red y el estudio de estas redes proporciona información fundamental sobre los números algebraicos. ^[1] Hermann Minkowski  (1896) inició esta línea de investigación a la edad de 26 años en su obra La geometría de los números ^[2] . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

Mejores aproximaciones racionales para π (círculo verde), e (rombo azul), ϕ (oblongo rosa), (√3)/2 (hexágono gris), 1/√2 (octágono rojo) y 1/√3 (triángulo naranja) calculadas a partir de sus expansiones en fracciones continuas, representadas como pendientes y / x con errores respecto de sus valores verdaderos (guiones negros)  

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• mi

La geometría de los números tiene una estrecha relación con otros campos de las matemáticas, especialmente el análisis funcional y la aproximación diofántica , el problema de encontrar números racionales que se aproximen a

te una cantidad irracional . ^[3]

Resultados de Minkowski

Supóngase que es una red en el espacio euclidiano de dimensión - y es un cuerpo convexo con simetría central. El teorema de Minkowski , a veces llamado primer teorema de Minkowski, establece que si , entonces contiene un vector distinto de cero en . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Gamma }$

El mínimo sucesivo se define como el inf de los números tales que contiene vectores linealmente independientes de . El teorema de Minkowski sobre mínimos sucesivos , a veces llamado segundo teorema de Minkowski , es un fortalecimiento de su primer teorema y establece que ^[4] ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Investigaciones posteriores en la geometría de los números

Entre 1930 y 1960, numerosos teóricos de números (entre ellos Louis Mordell , Harold Davenport y Carl Ludwig Siegel ) llevaron a cabo investigaciones sobre la geometría de los números . En los últimos años, Lenstra, Brion y Barvinok han desarrollado teorías combinatorias que enumeran los puntos reticulares de algunos cuerpos convexos. ^[5]

Teorema del subespacio de WM Schmidt

En la geometría de los números, el teorema del subespacio fue obtenido por Wolfgang M. Schmidt en 1972. ^[6] Afirma que si n es un entero positivo, y L ₁ ,..., L _n son formas lineales linealmente independientes en n variables con coeficientes algebraicos y si ε>0 es cualquier número real dado, entonces los puntos enteros distintos de cero x en n coordenadas con

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

se encuentran en un número finito de subespacios propios de Q ⁿ .

Influencia en el análisis funcional

La geometría de los números de Minkowski tuvo una profunda influencia en el análisis funcional . Minkowski demostró que los cuerpos convexos simétricos inducen normas en espacios vectoriales de dimensión finita. El teorema de Minkowski fue generalizado a los espacios vectoriales topológicos por Kolmogorov , cuyo teorema establece que los conjuntos convexos simétricos que son cerrados y acotados generan la topología de un espacio de Banach . ^[7]

Los investigadores continúan estudiando generalizaciones a conjuntos con forma de estrella y otros conjuntos no convexos . ^[8]

Referencias

1. Clasificación MSC, 2010, disponible en http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Clasificación 11HXX.
2. Minkowski, Hermann (27 de agosto de 2013). Espacio y tiempo: los artículos de Minkowski sobre la relatividad. Minkowski Institute Press. ISBN 978-0-9879871-1-2.
3. Los libros de Schmidt. Grötschel, Martín ; Lovász, László ; Schrijver, Alexander (1993), Algoritmos geométricos y optimización combinatoria, Algoritmos y combinatoria, vol. 2 (2ª ed.), Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-78240-4, ISBN 978-3-642-78242-8, Sr.  1261419
4. Cassels (1971) pág. 203
5. Grötschel et al., Lovász et al., Lovász y Beck y Robins.
6. Schmidt, Wolfgang M. Ecuaciones en forma normal. Ann. Math. (2) 96 (1972), págs. 526-551. Véase también los libros de Schmidt; compárese con Bombieri y Vaaler y también con Bombieri y Gubler.
7. Para el teorema de normabilidad de Kolmogorov, véase Functional Analysis de Walter Rudin . Para más resultados, véase Schneider y Thompson y Kalton et al.
8. Kalton y otros Gardner

Bibliografía

• Matthias Beck, Sinai Robins. Cálculo discreto de números continuos: enumeración de puntos enteros en poliedros , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, 2007.
• Enrico Bombieri ; Vaaler, J. (febrero de 1983). "Sobre el lema de Siegel". Invenciones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Código Bib : 1983 InMat..73...11B. doi :10.1007/BF01393823. S2CID  121274024.
• Enrico Bombieri y Walter Gubler (2006). Alturas en geometría diofántica . Cambridge UP
• JWS Cassels . Introducción a la geometría de los números . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reimpresión de las ediciones de Springer-Verlag de 1959 y 1971).
• John Horton Conway y NJA Sloane , Empaquetamientos de esferas, redes y grupos , Springer-Verlag, NY, 3.ª ed., 1998.
• RJ Gardner, Tomografía geométrica, Cambridge University Press, Nueva York, 1995. Segunda edición: 2006.
• PM Gruber , Geometría convexa y discreta, Springer-Verlag, Nueva York, 2007.
• PM Gruber, JM Wills (editores), Manual de geometría convexa. Vol. A. B, Holanda Septentrional, Amsterdam, 1993.
• M. Grötschel , Lovász, L. , A. Schrijver : Algoritmos geométricos y optimización combinatoria , Springer, 1988
• Hancock, Harris (1939). Desarrollo de la geometría de números de Minkowski . Macmillan.(Republicado en 1964 por Dover.)
• Edmund Hlawka , Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Teoría geométrica y analítica de números . Universitext. Springer-Verlag, 1991.
• Kalton, Nigel J .; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), Un muestreador del espacio F , London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xii+240, ISBN 0-521-27585-7, Sr.  0808777
• CG Lekkerkererker . Geometría de Números . Wolters-Noordhoff, Holanda Septentrional, Wiley. 1969.
• Lenstra, Alaska ; Lenstra, HW Jr .; Lovász, L. (1982). «Factorizar polinomios con coeficientes racionales» (PDF) . Annalen Matemáticas . 261 (4): 515–534. doi :10.1007/BF01457454. hdl : 1887/3810. SEÑOR  0682664. S2CID  5701340.
• Lovász, L. : Una teoría algorítmica de números, gráficos y convexidad , Serie de conferencias regionales CBMS-NSF sobre matemáticas aplicadas 50, SIAM, Filadelfia, Pensilvania, 1986
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Geometría de los números", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Leipzig y Berlín: RG Teubner, JFM  41.0239.03, MR  0249269 , consultado el 28 de febrero de 2016
• Wolfgang M. Schmidt . Aproximación diofántica . Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 con correcciones menores])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1467 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 3-540-54058-X.Zbl 0754.11020  .
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Lecciones sobre la geometría de los números . Springer-Verlag .
• Rolf Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Anthony C. Thompson, Geometría de Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• Hermann Weyl . Teoría de la reducción para la equivalencia aritmética. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi :10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. Teoría de la reducción para equivalencia aritmética. II. Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi :10.2307/1989946