En matemáticas , los números irracionales (desde prefijo in- asimilado a ir- (prefijo negativo, privativo ) + racional) son todos los números reales que no son números racionales . Es decir, los números irracionales no se pueden expresar como la razón de dos números enteros . Cuando la relación de longitudes de dos segmentos de línea es un número irracional, los segmentos de línea también se describen como inconmensurables , lo que significa que no comparten ninguna "medida" en común, es decir, no hay longitud ("la medida"), no No importa cuán corto sea, eso podría usarse para expresar las longitudes de ambos segmentos dados como múltiplos enteros de sí mismo.
Entre los números irracionales se encuentran la relación π entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, el número de Euler e , la proporción áurea φ y la raíz cuadrada de dos . [1] De hecho, todas las raíces cuadradas de números naturales , excepto las de cuadrados perfectos , son irracionales. [2]
Como todos los números reales, los números irracionales se pueden expresar en notación posicional , especialmente como número decimal. En el caso de los números irracionales, la expansión decimal no termina, ni finaliza con una secuencia repetida . Por ejemplo, la representación decimal de π comienza con 3,14159, pero ningún número finito de dígitos puede representar π exactamente, ni se repite. Por el contrario, una expansión decimal que termina o se repite debe ser un número racional. Estas son propiedades demostrables de los números racionales y los sistemas numéricos posicionales y no se utilizan como definiciones en matemáticas.
Los números irracionales también se pueden expresar como fracciones continuas no terminantes y de muchas otras formas.
Como consecuencia de la prueba de Cantor de que los números reales son incontables y los racionales contables, se deduce que casi todos los números reales son irracionales. [3]
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La primera prueba de la existencia de números irracionales suele atribuirse a un pitagórico (posiblemente Hipaso de Metaponto ), [4] quien probablemente los descubrió identificando los lados del pentagrama . [5] El entonces vigente método pitagórico habría afirmado que debía haber alguna unidad suficientemente pequeña e indivisible que pudiera encajar uniformemente en una de estas longitudes así como en la otra. Hipaso, en el siglo V a. C., sin embargo, pudo deducir que no existía una unidad de medida común y que la afirmación de tal existencia era una contradicción. Lo hizo demostrando que si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles era realmente conmensurable con un cateto, entonces una de esas longitudes medidas en esa unidad de medida debía ser par e impar, lo cual es imposible. Su razonamiento es el siguiente:
Los matemáticos griegos denominaron a esta proporción de magnitudes inconmensurables alogos , o inexpresable. Hipaso, sin embargo, no fue elogiado por sus esfuerzos: según una leyenda, hizo su descubrimiento mientras estaba en el mar, y posteriormente fue arrojado por la borda por sus compañeros pitagóricos "por haber producido un elemento en el universo que negaba la... doctrina". que todos los fenómenos del universo pueden reducirse a números enteros y sus proporciones.' [7] Otra leyenda afirma que Hipaso fue simplemente exiliado por esta revelación. Cualquiera que fuera la consecuencia para el propio Hipaso, su descubrimiento planteó un problema muy serio para las matemáticas pitagóricas, ya que derribó la suposición de que los números y la geometría eran inseparables; un fundamento de su teoría.
El descubrimiento de proporciones inconmensurables fue indicativo de otro problema al que se enfrentaban los griegos: la relación de lo discreto con lo continuo. Esto fue sacado a la luz por Zenón de Elea , quien cuestionó la concepción de que las cantidades sean discretas y estén compuestas por un número finito de unidades de un tamaño determinado. Las concepciones griegas pasadas dictaban que necesariamente debían serlo, ya que "los números enteros representan objetos discretos, y una razón conmensurable representa una relación entre dos colecciones de objetos discretos", [8] pero Zenón descubrió que, de hecho, "[las cantidades] en general no son conjuntos discretos de unidades; es por esto que aparecen razones de [cantidades] inconmensurables... .[L]as cantidades son, en otras palabras, continuas". [8] Lo que esto significa es que, contrariamente a la concepción popular de la época, no puede haber una unidad de medida más pequeña e indivisible para cualquier cantidad. De hecho, estas divisiones de cantidad necesariamente deben ser infinitas . Por ejemplo, considere un segmento de línea: este segmento se puede dividir por la mitad, esa mitad por la mitad, la mitad de la mitad por la mitad, y así sucesivamente. Este proceso puede continuar infinitamente, porque siempre hay otra mitad que dividir. Cuantas más veces se divide el segmento por la mitad, más se acerca la unidad de medida a cero, pero nunca llega exactamente a cero. Esto es precisamente lo que Zenón intentó demostrar. Buscó demostrarlo formulando cuatro paradojas , que demostraban las contradicciones inherentes al pensamiento matemático de la época. Si bien las paradojas de Zenón demostraron con precisión las deficiencias de las concepciones matemáticas actuales, no fueron consideradas como prueba de la alternativa. En la mente de los griegos, refutar la validez de un punto de vista no necesariamente probaba la validez de otro y, por lo tanto, era necesario realizar más investigaciones.
El siguiente paso lo dio Eudoxo de Cnido , quien formalizó una nueva teoría de la proporción que tenía en cuenta cantidades tanto conmensurables como inconmensurables. Un elemento central de su idea era la distinción entre magnitud y número. Una magnitud "...no era un número, sino que representaba entidades como segmentos de recta, ángulos, áreas, volúmenes y tiempo, que podían variar, como diríamos, continuamente. Las magnitudes se oponían a los números, que saltaban de un valor a otro. otro, como de 4 a 5". [9] Los números se componen de una unidad más pequeña e indivisible, mientras que las magnitudes son infinitamente reducibles. Debido a que no se asignaron valores cuantitativos a las magnitudes, Eudoxo pudo explicar razones tanto conmensurables como inconmensurables definiendo una razón en términos de su magnitud y la proporción como una igualdad entre dos razones. Al eliminar los valores cuantitativos (números) de la ecuación, evitó la trampa de tener que expresar un número irracional como un número. "La teoría de Eudoxo permitió a los matemáticos griegos lograr enormes avances en geometría al proporcionar la base lógica necesaria para proporciones inconmensurables". [10] Esta inconmensurabilidad se trata en los Elementos de Euclides, Libro X, Proposición 9. No fue hasta que Eudoxo desarrolló una teoría de la proporción que tenía en cuenta razones tanto irracionales como racionales que se creó una sólida base matemática para los números irracionales. [11]
Como resultado de la distinción entre número y magnitud, la geometría se convirtió en el único método que podía tener en cuenta razones inconmensurables. Debido a que los fundamentos numéricos anteriores todavía eran incompatibles con el concepto de inconmensurabilidad, el enfoque griego se alejó de concepciones numéricas como el álgebra y se centró casi exclusivamente en la geometría. De hecho, en muchos casos las concepciones algebraicas fueron reformuladas en términos geométricos. Esto puede explicar por qué todavía concebimos x 2 y x 3 como x al cuadrado y x al cubo en lugar de x elevado a la segunda y x a la tercera potencia. También fue crucial para el trabajo de Zenón con magnitudes inconmensurables el enfoque fundamental en el razonamiento deductivo que resultó de la destrucción fundamental de las matemáticas griegas anteriores. La comprensión de que alguna concepción básica dentro de la teoría existente estaba en desacuerdo con la realidad requirió una investigación completa y exhaustiva de los axiomas y supuestos que subyacen a esa teoría. A partir de esta necesidad, Eudoxo desarrolló su método de agotamiento , una especie de reductio ad absurdum que "...estableció la organización deductiva sobre la base de axiomas explícitos..." así como "...reforzó la decisión anterior de confiar en sobre el razonamiento deductivo para la prueba". [12] Este método de agotamiento es el primer paso en la creación del cálculo.
Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de los números enteros hasta 17, pero se detuvo allí probablemente porque el álgebra que usó no se podía aplicar a la raíz cuadrada de 17. [13]
Los problemas geométricos y matemáticos relacionados con números irracionales, como las raíces cuadradas, se abordaron muy temprano durante el período védico en la India. Hay referencias a tales cálculos en los Samhitas , los Brahmanas y los Shulba Sutras (800 a. C. o antes). (Ver Bag, Indian Journal of History of Science, 25(1-4), 1990).
Se sugiere que el concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por los matemáticos indios desde el siglo VII a. C., cuando Manava (c. 750 – 690 a. C.) creía que las raíces cuadradas de números como 2 y 61 no se podían determinar con exactitud. [14] El historiador Carl Benjamin Boyer , sin embargo, escribe que "tales afirmaciones no están bien fundamentadas y es poco probable que sean ciertas". [15]
Más tarde, en sus tratados, los matemáticos indios escribieron sobre la aritmética de surds, incluida la suma, la resta, la multiplicación, la racionalización, así como la separación y extracción de raíces cuadradas. [dieciséis]
Matemáticos como Brahmagupta (en 628 d.C.) y Bhāskara I (en 629 d.C.) hicieron contribuciones en esta área al igual que otros matemáticos que les siguieron. En el siglo XII Bhāskara II evaluó algunas de estas fórmulas y las criticó, identificando sus limitaciones.
Durante los siglos XIV al XVI, Madhava de Sangamagrama y la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala descubrieron la serie infinita para varios números irracionales como π y ciertos valores irracionales de funciones trigonométricas . Jyeṣṭhadeva proporcionó pruebas de estas series infinitas en el Yuktibhāṣā . [17]
En la Edad Media , el desarrollo del álgebra por parte de los matemáticos musulmanes permitió que los números irracionales fueran tratados como objetos algebraicos . [18] Los matemáticos de Oriente Medio también fusionaron los conceptos de " número " y " magnitud " en una idea más general de números reales , criticaron la idea de razones de Euclides , desarrollaron la teoría de razones compuestas y extendieron el concepto de número a razones de proporciones continuas. magnitud. [19] En su comentario al Libro 10 de los Elementos , el matemático persa Al-Mahani (m. 874/884) examinó y clasificó los irracionales cuadráticos y los irracionales cúbicos. Proporcionó definiciones de magnitudes racionales e irracionales, que trató como números irracionales. Los trató con libertad pero los explica en términos geométricos de la siguiente manera: [19]
"Será una (magnitud) racional cuando digamos, por ejemplo, 10, 12, 3%, 6%, etc., porque su valor se pronuncia y se expresa cuantitativamente. Lo que no es racional es irracional y es imposible pronunciarlo. y representar su valor cuantitativamente. Por ejemplo: las raíces de números como 10, 15, 20 que no son cuadrados, los lados de números que no son cubos, etc. "
En contraste con el concepto de Euclides de las magnitudes como líneas, Al-Mahani consideraba los números enteros y las fracciones como magnitudes racionales, y las raíces cuadradas y cúbicas como magnitudes irracionales. También introdujo un enfoque aritmético al concepto de irracionalidad, ya que atribuye lo siguiente a las magnitudes irracionales: [19]
"sus sumas o diferencias, o resultados de su suma a una magnitud racional, o resultados de restar una magnitud de esta clase a una irracional, o de una magnitud racional a ella".
El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850 – 930) fue el primero en aceptar números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación , a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas . [20] En el siglo X, el matemático iraquí Al-Hashimi proporcionó pruebas generales (en lugar de demostraciones geométricas) de los números irracionales, al considerar la multiplicación, la división y otras funciones aritméticas. [19] El matemático iraní Abū Ja'far al-Khāzin (900–971) proporciona una definición de magnitudes racionales e irracionales, afirmando que si una cantidad definida es: [19]
"contenido en una cierta magnitud dada una o muchas veces, entonces esta magnitud (dada) corresponde a un número racional... Cada vez que esta (última) magnitud comprende la mitad, un tercio o un cuarto de la magnitud dada (de la unidad), o, comparada con (la unidad), comprende tres, cinco o tres quintos, es una magnitud racional. Y, en general, cada magnitud que corresponde a esta magnitud (es decir, a la unidad), como una número a otro, es racional. Sin embargo, si una magnitud no puede representarse como un múltiplo, una parte (1/ n ), o partes ( m / n ) de una magnitud dada, es irracional, es decir , no puede expresarse de otra manera. que por medio de raíces."
Muchos de estos conceptos fueron finalmente aceptados por los matemáticos europeos algún tiempo después de las traducciones latinas del siglo XII . Al-Hassār , matemático marroquí de Fez especializado en jurisprudencia islámica sobre herencia durante el siglo XII, menciona por primera vez el uso de una barra fraccionaria, donde numeradores y denominadores están separados por una barra horizontal. En su discusión, escribe: "..., por ejemplo, si te dicen que escribas tres quintos y un tercio de quinto, escribe así. " [21] Esta misma notación fraccionaria aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII. [22]
En el siglo XVII, los números imaginarios se convirtieron en una poderosa herramienta en manos de Abraham de Moivre , y especialmente de Leonhard Euler . La finalización de la teoría de los números complejos en el siglo XIX supuso la diferenciación de los irracionales en números algebraicos y trascendentales , la prueba de la existencia de los números trascendentales y el resurgimiento del estudio científico de la teoría de los irracionales, en gran medida ignorada desde Euclides . El año 1872 vio la publicación de las teorías de Karl Weierstrass (por su alumno Ernst Kossak), Eduard Heine ( Crelle's Journal , 74), Georg Cantor (Annalen, 5) y Richard Dedekind . Méray había tomado en 1869 el mismo punto de partida que Heine, pero la teoría generalmente se remonta al año 1872. El método de Weierstrass fue expuesto completamente por Salvatore Pincherle en 1880, [23] y el de Dedekind recibió prominencia adicional gracias a las posteriores publicaciones del autor. trabajo (1888) y el respaldo de Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor y Heine basan sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda la suya en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de todos los números racionales , separándolos en dos grupos que tienen ciertas propiedades características. El tema ha recibido contribuciones posteriores de manos de Weierstrass, Leopold Kronecker (Crelle, 101) y Charles Méray .
Las fracciones continuas , estrechamente relacionadas con los números irracionales (y debidas a Cataldi, 1613), recibieron atención de la mano de Euler y, a principios del siglo XIX, adquirieron prominencia gracias a los escritos de Joseph-Louis Lagrange . Dirichlet también contribuyó a la teoría general, al igual que numerosos contribuyentes a las aplicaciones del tema.
Johann Heinrich Lambert demostró (1761) que π no puede ser racional y que e n es irracional si n es racional (a menos que n = 0). [24] Si bien la prueba de Lambert a menudo se considera incompleta, las evaluaciones modernas la consideran satisfactoria y, de hecho, para su época es inusualmente rigurosa. Adrien-Marie Legendre (1794), después de introducir la función de Bessel-Clifford , proporcionó una prueba para demostrar que π 2 es irracional, de donde se sigue inmediatamente que π también es irracional. La existencia de números trascendentales fue establecida por primera vez por Liouville (1844, 1851). Posteriormente, Georg Cantor (1873) demostró su existencia mediante un método diferente , que demostró que todo intervalo de los reales contiene números trascendentales. Charles Hermite (1873) demostró por primera vez e trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), a partir de las conclusiones de Hermite, demostró lo mismo para π. La prueba de Lindemann fue simplificada mucho por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893), y finalmente Adolf Hurwitz [ cita requerida ] y Paul Gordan la hicieron elemental . [25]
La raíz cuadrada de 2 probablemente fue el primer número que resultó irracional. [26] La proporción áurea es otro número irracional cuadrático famoso. Las raíces cuadradas de todos los números naturales que no son cuadrados perfectos son irracionales y se puede encontrar una prueba en los irracionales cuadráticos .
La prueba anterior [ se necesita aclaración ] para la raíz cuadrada de dos se puede generalizar utilizando el teorema fundamental de la aritmética . Esto afirma que cada número entero tiene una factorización única en números primos. Usándolo podemos demostrar que si un número racional no es un número entero, entonces ninguna potencia integral del mismo puede ser un número entero, ya que en términos más bajos debe haber un número primo en el denominador que no se divida entre el numerador, sea cual sea la potencia a la que se eleve cada uno. . Por lo tanto, si un número entero no es una k- ésima potencia exacta de otro número entero, entonces la k- ésima raíz de ese primer entero es irracional.
Quizás los números más fáciles de demostrar que son irracionales sean ciertos logaritmos . Aquí hay una prueba por contradicción de que log 2 3 es irracional (log 2 3 ≈ 1,58 > 0).
Supongamos que log 2 3 es racional. Para algunos enteros positivos m y n , tenemos
Resulta que
El número 2 elevado a cualquier potencia entera positiva debe ser par (porque es divisible por 2) y el número 3 elevado a cualquier potencia entera positiva debe ser impar (ya que ninguno de sus factores primos será 2). Claramente, un número entero no puede ser par e impar al mismo tiempo: tenemos una contradicción. La única suposición que hicimos fue que log 2 3 es racional (y por lo tanto expresable como un cociente de números enteros m / n con n ≠ 0). La contradicción significa que esta suposición debe ser falsa, es decir, log 2 3 es irracional y nunca puede expresarse como un cociente de números enteros m / n con n ≠ 0.
Casos como el log 10 2 se pueden tratar de manera similar.
Casi todos los números irracionales son trascendentales y todos los números trascendentales reales son irracionales (también hay números trascendentales complejos): el artículo sobre números trascendentales enumera varios ejemplos. Entonces e r y π r son irracionales para todo r racional distinto de cero y, por ejemplo, e π también es irracional.
Los números irracionales también se pueden encontrar dentro del conjunto contable de números algebraicos reales (esencialmente definidos como las raíces reales de polinomios con coeficientes enteros), es decir, como soluciones reales de ecuaciones polinómicas.
donde los coeficientes son números enteros y . Cualquier raíz racional de esta ecuación polinómica debe tener la forma r / s , donde r es un divisor de 0 y s es un divisor de n . Si una raíz real de un polinomio no se encuentra entre estas posibilidades finitas, debe ser un número algebraico irracional. Una prueba ejemplar de la existencia de tales irracionales algebraicos es mostrar que x 0 = (2 1/2 + 1) 1/3 es una raíz irracional de un polinomio con coeficientes enteros: satisface ( x 3 − 1) 2 = 2 y por lo tanto x 6 − 2 x 3 − 1 = 0, y este último polinomio no tiene raíces racionales (los únicos candidatos a verificar son ±1, y x 0 , al ser mayor que 1, no es ninguna de estas), por lo que x 0 es un número algebraico irracional.
Debido a que los números algebraicos forman un subcampo de los números reales, se pueden construir muchos números reales irracionales combinando números trascendentales y algebraicos. Por ejemplo, 3 π + 2, π + √ 2 y e √ 3 son irracionales (e incluso trascendentales).
La expansión decimal de un número irracional nunca se repite ni termina (esto último equivale a ceros repetidos), a diferencia de cualquier número racional. Lo mismo ocurre con las expansiones binarias , octales o hexadecimales , y en general con las expansiones en toda notación posicional con bases naturales .
Para mostrar esto, supongamos que dividimos números enteros n entre m (donde m es distinto de cero). Cuando se aplica una división larga a la división de n por m , nunca puede quedar un resto mayor o igual a m . Si aparece 0 como resto, la expansión decimal termina. Si 0 nunca ocurre, entonces el algoritmo puede ejecutarse como máximo m − 1 pasos sin utilizar ningún resto más de una vez. Después de eso, debe repetirse un resto y luego se repite la expansión decimal.
Por el contrario, supongamos que nos encontramos ante un decimal periódico , podemos demostrar que es una fracción de dos números enteros. Por ejemplo, considere:
Aquí el repetido es 162 y la longitud del repetido es 3. Primero, multiplicamos por una potencia apropiada de 10 para mover el punto decimal hacia la derecha para que quede justo delante de un repetido. En este ejemplo multiplicaríamos por 10 para obtener:
Ahora multiplicamos esta ecuación por 10 r donde r es la longitud del repetido. Esto tiene el efecto de mover el punto decimal para que esté delante de la repetición "siguiente". En nuestro ejemplo, multiplica por 10 3 :
El resultado de las dos multiplicaciones da dos expresiones diferentes con exactamente la misma "porción decimal", es decir, el final de 10.000 A coincide exactamente con el final de 10 A. Aquí, tanto 10.000 A como 10 A tienen 0,162 162 162 ... después del punto decimal.
Por lo tanto, cuando restamos la ecuación de 10 A de la ecuación de 10,000 A , el extremo final de 10 A cancela el extremo final de 10,000 A, dejándonos con:
Entonces
es una razón de números enteros y por tanto un número racional.
Dov Jarden dio una prueba simple y no constructiva de que existen dos números irracionales a y b , tales que a b es racional: [27]
Considere √ 2 √ 2 ; si esto es racional, entonces tome a = b = √ 2 . De lo contrario, tome a como el número irracional √ 2 √ 2 y b = √ 2 . Entonces a b = ( √ 2 √ 2 ) √ 2 = √ 2 √ 2 · √ 2 = √ 2 2 = 2, lo cual es racional.
Aunque el argumento anterior no decide entre los dos casos, el teorema de Gelfond-Schneider muestra que √ 2 √ 2 es trascendental y, por tanto, irracional. Este teorema establece que si a y b son ambos números algebraicos , y a no es igual a 0 o 1, y b no es un número racional, entonces cualquier valor de a b es un número trascendental (puede haber más de un valor si se utiliza la exponenciación de números complejos ).
Un ejemplo que proporciona una prueba constructiva simple es [28]
La base del lado izquierdo es irracional y el lado derecho es racional, por lo que se debe demostrar que el exponente del lado izquierdo, , es irracional. Esto es así porque, según la fórmula que relaciona logaritmos con diferentes bases,
que podemos suponer, con el fin de establecer una contradicción , es igual a una relación m/n de números enteros positivos. Entonces, por lo tanto , por lo tanto , por lo tanto, que es un par contradictorio de factorizaciones primas y, por lo tanto, viola el teorema fundamental de la aritmética (factorización prima única).
Un resultado más sólido es el siguiente: [29] Cada número racional en el intervalo se puede escribir como a para algún número irracional a o como n n para algún número natural n . De manera similar, [29] todo número racional positivo se puede escribir como para algún número irracional a o como para algún número natural n .
No se sabe si (o ) es irracional. De hecho, no existe ningún par de números enteros distintos de cero del que se sepa si es irracional. Además, no se sabe si el conjunto es algebraicamente independiente .
No se sabe si la constante catalana o la constante de Euler-Mascheroni son irracionales. [30] No se sabe si alguna de las tetraciones o es racional para algún número entero [ cita necesaria ]
En matemáticas constructivas , el tercero excluido no es válido, por lo que no es cierto que todo número real sea racional o irracional. Por tanto, la noción de número irracional se bifurca en múltiples nociones distintas. Se podría tomar la definición tradicional de número irracional como un número real que no es racional. [31] Sin embargo, existe una segunda definición de número irracional utilizada en matemáticas constructivas, que es que un número real es un número irracional si está aparte de todo número racional, o de manera equivalente, si la distancia entre y cada número racional es positiva. Esta definición es más sólida que la definición tradicional de número irracional. Esta segunda definición se utiliza en la prueba de Errett Bishop de que la raíz cuadrada de 2 es irracional . [32]
Dado que los reales forman un conjunto incontable , del cual los racionales son un subconjunto contable , el conjunto complementario de los irracionales es incontable.
Bajo la función de distancia habitual ( euclidiana ) , los números reales son un espacio métrico y por tanto también un espacio topológico . Restringir la función de distancia euclidiana da a los irracionales la estructura de un espacio métrico. Dado que el subespacio de los irracionales no está cerrado, la métrica inducida no es completa . Al ser un conjunto G-delta —es decir, una intersección contable de subconjuntos abiertos— en un espacio métrico completo, el espacio de los irracionales es completamente metrizable : es decir, hay una métrica sobre los irracionales que induce la misma topología que la restricción del sistema euclidiano. métrica, pero respecto de la cual los irracionales son completos. Uno puede ver esto sin conocer el hecho antes mencionado sobre los conjuntos G-delta: la expansión fraccionaria continua de un número irracional define un homeomorfismo desde el espacio de los irracionales al espacio de todas las secuencias de números enteros positivos, que se ve fácilmente que es completamente metrizable.
Además, el conjunto de todos los irracionales es un espacio metrizable desconectado. De hecho, los irracionales equipados con la topología subespacial tienen una base de grupos abiertos por lo que el espacio es de dimensión cero .
También se ha afirmado que el primer reconocimiento de inconmensurables aparece en la India durante el período Sulbasutra , pero tales afirmaciones no están bien fundamentadas. El argumento a favor de una temprana conciencia hindú de las magnitudes inconmensurables se vuelve muy improbable por la falta de evidencia de que los matemáticos indios de ese período hubieran llegado a comprender conceptos fundamentales.
